Гюйгенс теоремаси

Режа:

1. 
   Марказдан қочма инерция моментлари.
   
2. 
   Жисмнинг ихтиёрий йўналган ўққа нисбатан инерция моменти.
   
3. 
   Инерция ўққлари
   

Гюйгенс теоремаси
Умуман олганда ҳар бир жисмнинг турли ўқларга нисбатан инерция моментлари турлича бўлади. Қуйида биз, жисмнинг бирор ўққа нисбатан инерция моменти аниқ бўлса, унга параллел бўлган ихтиёрий ўққа нисбатан инерция моментини қандай аниқлашни кўрсатиб ўтамиз. Жисмнинг масса маркази С нуқтадан ихтиёрий йўналган Cx’y’z’ ўқлар ўтказамиз, ва ихтиёрий О нуқтадан шу ўқларга тегишлича параллел бўлган, яҳни ОхСx’, ОуСy’, ОzСz’ -ўқларни ўтказамиз (278 шакл). Сz’ ва Оz ўқлар орасидаги масофани d -ҳарфи белгилайлик. У ҳолда (3) формулага асосан:


278 шакл.
J_Оz=m_z( + ), J_Cz’=m_z( + ).
Лекин шаклдан кўриниб турганидек, ихтиёрий нуқта учун x_k= -d ва = +d²-2 d, ҳамда y_k= бўлади. ва y_k -ларнинг қийматларини J_Оz -ифодага қўйсак ва умумий d² ва 2d кўпайтмаларни қавсдан чиқарсак,
J_Оz=m_z( + )+(m_k)d²-(m_k )2d
Ушбу тенгликнинг биринчи йиғиндиси J_Cz’ -га тенг, иккинчиси жисмнинг массасини масофа квадратига кўпайтмасига тенг. Учинчи йиғиндини аниқлаймиз. (1) формулага асосан масса марказининг координатаси m_k =М . Ушбу масалада, С нуқта координата боши бўлганлиги учун =0 бўлади. Натижада,
J_Оz= J_Cz’+Мd² (9)


формула Г ю г е н с¹ нинг қуйидаги теоремасини ифодалайди: жисмнинг берилган ўққа нисбатан инерция моменти, шу ўққа параллел равишда масса марказидан ўтувчи ўққа нисбатан инерция моменти ва жисмнинг умумий массасини ўқлар орасидаги масофа квадратига кўпайтмасининг йиғиндисига тенг экан.

9. 
   формуладан кўриниб тургандек, J_Оz>J_Cz’. Демак, шу йўналишдаги барча ўқларга нисбатан инерция моментларининг энг кичкинаси масса марказидан ўтувчи ўққа нисбатан бўлар экан.
   

Агар, бирор Аz₂ ўққа нисбатан инерция моменти маoлум бўлса, Гюгенс теоремаси орқали, шу ўққа параллел йўналган ихтиёрий Оz₁ ўққа нисбатан инерция моментини аниқлаш мумкин экан. Аммо қўшимча равишда, ҳар бир ўқнинг масса марказигача бўлган d₁ ва d₂ масофалар маoлум бўлиши керак. У ҳолда J_Az2 ва d₂ ларни билган ҳолда, (9) формула орқали J_Cz’ -ни аниқлаймиз, сўнгра ўша (9) формула орқали J_Оz1 ни аниқлаймиз.
119 масала. Ингичка стерженнинг масса марказидан ўтувчи ва стерженга перпендикуляр бўлган Cz ўққа нисбатан инерция моменти аниқлансин.
Е ч и ш. Стерженнинг А учидан ўтувчи Аz ўқини йўналтирамиз (275 шакл, Cz ўқи шаклда кўрсатилмаган). У ҳолда (9) формулага асосан:
J_C=J_A-Md²
Ушбу масалада d=l/2, бу ерда l -стерженнинг узунлиги, J_А- а нуқтадан ўтувчи ўққа нисбатан инерция моменти, (6) формула орқали аниқланади. Демак,
J_C=Ml²/3- Ml²/4= Ml²/12.
120 масала. Цилиндрнинг ясовчиси бўйлаб ўтказилган Аz₁ -ўққа нисбатан инерция моменти аниқлансин (277, б шакл).
Е ч и ш. Гюгенс теоремасига асосан J_Аz1= J_Сz+Мd². Ушбу масалада d=R, ва (8) формулага асосан J_Сz=MR²/2. Буларни юқоридаги тенгламага қўйсак,
J_Аz1= MR²/2+МR²=(3/2) МR².