Гюйгенс теоремаси

Марказдан қочма инерция моментлари.
Жисмнинг бош инерция ўқлари ҳақида тушунча.
Агар О нуқтадан Оxyz ўқларни ўтказсак, у ҳолда бу ўқларга нисбатан, J_xy, J_yz, J_zx қийматлардан иборат бўлган ва
J_xy=m_kx_ky_k, J_yz=m_ky_kz_k, J_zx=m_kz_kx_k (10)
формулалар орқали аниқланадиган марказдан қочма инерция моментлари (ёки инерциялар кўпайтмаси) деб аталувчи ифодалар пайдо бўлади. Бу ердаги m_k- нуқтанинг массаси, x_k, y_k , z_k -лар нуқтанинг координаталари, ҳамда J_xy= J_yх бўлади ва ҳ.к.
Яхлит жисмлар учун (10) формула (5’) формула каби қуйидаги кўринишга келади,
J_xy= ва ҳ. (10’)
Марказдан қочма инерция моментлари, ўқларга нисбатан моментлардан фарқли равишда, мусбат ёки манфий қийматларга эга бўлишлари ҳам мумкин, ва хусусий ҳолда махсус йўналтирилган Оxyz ўқларга нисбатан нолга тенг бўлишлари ҳам мумкин.
Б о ш и н е р ц и я ў қ л а р и. Симметрия ўқига эга бўлган бир жинсли жисмни олиб кўрайлик. Оxyz координата ўқларини шундай йўналтирайликки, Оz ўқи жисмнинг симметрия ўқи бўйлаб йўналган бўлсин (279 шакл). У ҳолда, симметрия қоидасига асосан, жисмнинг m_k -массали ва x_k, y_k , z_k - координатали ҳар бир нуқтасига, тегишли равишда бошқа индексли, шундай массали лекин координаталари тескари ишорали бўлган, яҳни -x_k, -y_k , z_k нуқта, албатта, мавжуд бўлади. Натижада m_kx_kz_k=0 ва m_ky_kz_k=0 бўлади, чунки бу йиғиндидаги қийматлар модули бўйича ўзаро тенг, лекин тескари ишоралар билан жуфт-жуфт бўлиб иштирок этадилар; бундан (10) тенгликни эoтиборга олсак,
J_xz =0 J_yz=0 (11)
бўлади.
Шундай қилиб, z -ўқига нисбатан массалар симметрик равишда жойлашганликлари сабабли, J_zx ва J_yz лар нолга айланиш билан характерланади. Марказдан қочма инерция моменти нолга тенг бўлган J_xz ва J_yz қийматларнинг индексларида иштирок этган Оz ўқ, жисмнинг О нуқтадаги бош инерция ўқи деб аталади.
Юқоридагиларга асосан, агар жисмнинг симметрия ўқи мавжуд бўлса, бу ўқ шу жисмнинг ихтиёрий нуқтасидаги бош инерция ўқи бўлади.
Бош инерция ўқи, албатта жисмнинг симметрия ўқи бўлиши шарт эмас. Симметрия текисликка эга бўлган, бир жинсли жисмни олиб кўрайлик (279 шаклда abcd текислиги симметрия текислиги ҳисобланади). Шу симметрия текислигида ётувчи Оz, Оx ва унга перпендикуляр йўналган Оy ўқларни ўтказайлик. У ҳолда, симметрия қоидасига асосан, жисмнинг m_k -массали ва x_k, y_k , z_k - координатали ҳар бир нуқтасига, тегишли равишда бошқа индексли, шундай массали лекин координаталари шундай ва тескари ишорали, яҳни x_k, -y_k , z_k нуқта, албатта, мавжуд бўлади. Натижада юқоридаги каби m_kx_ky_k=0 ва m_ky_kz_k=0, ёки J_xу =0, J_yz=0 бўлади. Шу сабабли, у -ўқи О нуқтадаги бош инерция ўқи бўлади. Шундай қилиб, агар жисм симметрия текислигига эга бўлса, шу текисликка перпендикуляр равишда йўналган ихтиёрий ўқ, шу текисликни кесиб ўтган О нуқтадаги бош инерция ўқи ҳисобланар экан.
(11) тенглама, Оz -ўқи жисмнинг О нуқтаси (координата боши)даги инерция ўқи эканлигининг шарти ҳисобланади. Худди шу каби, агар J_xу =0, J_yz=0 бўлса, у ҳолда Оу ўқи жисмнинг О нуқтадаги бош инерция ўқи ҳисобланади. Демак, агар барча марказдан қочма инерция моментлари, яҳҳни
J_xу =0, J_yz=0, J_zх=0 (11’)
бўлса, у ҳолда ҳар бир координата ўқлари, жисмнинг О нуқта (координата боши) даги бош инерция ўқи ҳисобланади.
Масалан, 279 шаклдаги учала Оxyz -ўқлари (Оz -ўқи симметрия ўқи бўлганлиги сабабли, Оx ва Оy -ўқлари эса симметрия текислигига перпендикуляр бўлганлиги сабабли) жисмнинг О нуқтадаги бош инерция ўқлари ҳисобланади.
Бош инерция ўқларига нисбатан аниқланган инерция моментлари, жисмнинг бош инерция моментлари деб аталади.
Жисмнинг массалар марказидан ўтказилган бош инерция ўқлари, бош марказий инерция ўқлари деб аталади. Юқорида исбот қилинганларга асосан, агар жисм симметрия ўқига эга бўлса, у ҳолда бу ўқ жисмнинг бош марказий ўқларидан бири ҳисобланади, чунки масса маркази шу ўқда жойлашган бўлади. Агар, жисм симметрия текислигига эга бўлса, у ҳолда шу текисликка перпендикуляр бўлиб, жисмнинг масса марказидан ўтса, бу ўқ ҳам бош марказий инерция ўқларидан бири ҳисобланади.
Юқорида кўриб ўтилган мисолларда, асосан симметрик жисмлар таҳлил қилинди, масалалар ечишда учрайдиган жисмларнинг кўпчилиги айнан шундайлардан иборат бўлади. Лекин, шуни исбот қилиш мумкинки, ҳар қандай жисмнинг ихтиёрий нуқтасидан ҳеч бўлмаганда ўзаро перпендикуляр бўлган учта ўқни шундай ўтказиш мумкинки, улар учун (11’) тенглама қаноатланади, яҳни жисмнинг шу нуқтадаги бош инерция ўқлари ҳисобланади.
Қаттиқ жисм динамикасида, бош инерция ўқлари тушунчаси катта аҳамиятга эга бўлади. Агар Оxyz -координата ўқларини, ана шу бош инерция ўқлари бўйича йўналтирсак, у ҳолда ҳамма марказдан қочма инерция кучлари нолга тенг бўлади, натижада тегишли тенгламалар (§105 ва §132 ларга қаранг) ва формулалар ниҳоятда содда ҳолга келадилар. Айланаётган жисмнинг динамик тенгламалари (§136 га қаранг) ва зарба маркази (§157 га қаранг) га оид ва бошқа қатор масалаларни ечишда, бош инерция ўқлари тушунчаси алоҳида аҳамият касб этади.