23 Маъруза Айирмали схемаларнинг тургунлик назарияси

2).Оператор тенгламаларнинг корректлиги.
(2) - оператор тенгламалар оиласини караймиз, бу ерда A_h - H_h - чекли ўлчовли фазода ишловчи оператор. Фараз киламиз H_h фазода ва мос равишда ечимни ва ўнг томонни ўлчаш учун киритилган нормалар бўлсинлар.(2)- тенглама коррект деб айтилади, агар ихтиёрий учун
1) (2) - тенгламанинг ечими мавжуд ва ягона;
2) h - га богликмас шундай M₁>0 константа мавжудки, исталган учун
₍₁₀₎
тенгсизлик ўринли бўлса.
1-шарт операторнинг мавжудлигига, 2-шарт эса операторнинг h-га нисбатан текис чегарланганлигига эквивалент.
Коректликнинг иккинчи шарти айирмали схеманинг тургунлиги деб айтилади.


2. Икки катламли айирмали схемаларнинг каноник кўриниши ва тургунлиги.


1). Икки катламли айирмали схемаларнинг каноник кўриниши .
Стационар масалалар учун айирмали схемаларнинг оператор тенглама кўринишдаги умумий ёзуви, ностационар масалалар учун унча кулай эмаслиги маълум бўлди. Шунинг учун икки ва уч катламли схемалар учун бошка каноник кўринишда ёзиш фойдаланилади. Фараз киламиз, олдиндагидек, ўлчови h-га боглик бўлган H_h чекли ўлчовли чизикли фазолар оиласи берилган бўлсин.
Конкрет схемаларга кўллаш пайтида H_h - фазо h кадам билан характерланадиган _h - фазовий турда аникланган функциялар фазосидан иборат. [O,T] кесмада вакт бўйича кадамли

тўрни киритамиз ва тўрда аникланган y(t_n) H_h функцияларни караймиз.
y(t_n) H_h функциялар h ва параметрларга боглик бўлишлари мумкин. y(t_n)=y_h, (t_n). Келгусида y_n=y_h, (t_n) каби белгилаймиз. Фараз киламиз H_h фазода ишловчи В₁ ва В₂ чизикли операторлар, хамда функциялар берилган булсинлар.
Икки катламли айирмали схема деб,
(1)
биринчи тартибли айирмали оператор тенгламаларга айтилади.
(2)
тенглик уринли булганлиги учун - турда ихтиёрий икки катламли айирмали схемани
₍₃₎
y₀ H_h берилган куринишда ёзиш мумкин.
Бу ерда A=B₁+B₂ ва B= B₁ чизикли операторлар.
Икки катламли айирмали схеманинг каноник куриниши деб, унинг (3) шаклдаги ёзилишига айтилади.
Бирта айирмали схемани турли шаклда ёзиб буладиган булганлиги учун, бир хил каноник куринишда ёзиш, турли схемаларни таккослаш ва тахлил килишни осонлаштиради, схемани (3) шаклдаги ёзуви

дифференциал тенглама учун абстракт Коши масаласини эслатади. Конкрет айирмали схемалар холида одатда А оператори фазовий А дифференциал оператор аппроксимациясини ифодалайди. В оператори эса у ёки бу айирмали схемани аниклайди.
Шунинг учун (3)-шаклда ёзиш куп холларда аппроксимацияни текширишни соддалаштиради. Келгусида икки катламли айирмали схемалар тургунлик шартларини А ва В операторлар ёрдамида тасвирлаш кулай эканлигига ишонч хосил киламиз.
1-мисол. Бир улчовли иссиклик утказувчанлик тенгламаси учун параметрли схемани караймиз.
₍₄₎
(4) айирмали схемани (1) куринишга келтирамиз. H_h фазо сифатида

турда аникланган i=0 ва i=N да нольга тенг киймат кабул киладиган хакикий функцияларнинг фазосини караймиз. А операторни (иккинчи айирмали хосила операторини)
(5)
формула ёрдамида аниклаймиз. y_n H оркали y_n=( )^T векторни белгилаймиз, бунда . Унда (4) айирмали схемани
(6)
куринишда ёзиш мумкин.
Лекин бу хали каноник куриниш эмас. Каноник куринишда ёзиш учун (2) айниятдан фойдаланиш етарли, ундан B=E+ A , эканлиги маълум булади.
Шундай килиб, (4) айирмали схема (3) каноник куринишда ёзилади. Унда _n=0, A оператор (5) каби аникланган ва B=E+ A .
2-мисол. 1-мисолда аникланган турда
(7)

айирмали схемани караймиз.
(7)- схемани (3)- каноник куринишга келтирамиз. Энг аввал уни

ёки

куринишда ёзамиз. Кейинги тенгламани 0.5h² - га булиб

айирмали схемани хосил киламиз.
Бундан B=E , = 0,5h² ва эканлиги куриниб турибди.