23 Маъруза Айирмали схемаларнинг тургунлик назарияси

3). Бошлангич берилганларга нисбатан тургунлик теоремалари.
Фараз киламиз H_h да (y, )_h скаляр купайтма ва норма киритилган булсин. Соддалик учун скаляр купайтма ва норма белгиларидаги h белгисини тушириб колдирамиз.
H_h фазода ишловчи D-оператор мусбат аникланган деб айтилади, агар барча y H_h учун (Dy,y)>0 булса. Агар D узига кушма ва мусбат аникланган булса, унда нормани киритиш мумкин. Бундай норма, D оператори хосил килган энергетик норма деб айтилади. Келгусида ; D-мусбат (D-номанфий, яъни ) эканлигини билдиради. H_h хакикий фазо деб хисоблаймиз.
2-теорема Фараз киламиз (3)- тенгламадаги А оператор узига кушма , мусбат ва n га боглик булмасин.
Агар
(20)
оператор тенгсизлик бажарилса, унда (3)- схема бошлангич берилганларга нисбатан текис тургун булиб, (11)- биржинсли тенглама ечими учун
(21)
бахо уринлидир.
Исбот. каби белгилаб (11) тенгламани y_t га скаляр купайтирамиз. Унда

айниятни хосил киламиз. Бу айниятни оддий шакл узгартириш бажариб
(22)
куринишда ёзиш мумкин.

булгани учун (22)ни
(23)
куринишда ёзиш мумкин.
Бундан сунг А операторнинг узига кушмалигидан, n га боглик эмаслигидан ва мусбатлигидан фойдаланиб

<sub>Бундан ва (23) – дан

айниятга келамиз.
(20) – шартдан

тенгсизликни хосил киламиз,
Ш
у сабабли (24) га асосан (11) – тенглама ечими учун

тенгсизлик уринли булади. Бу (21) тенгсизлик билан бир хил. (2)- теорема исбот булди.</sub>
3-теорема. 2-теоремада А операторга куйилган шартлар билан

тенгсизликдан (11)- тенглама ечими учун (21)- бахо келиб чикади. Теорема худди 2-теорема каби исбот килинади.
Бу ерда биз , яъни (20) шартни хисобга олдик 2 ва 3 теоремалар конкрет икки катламли айирмали схемалар холида тургунликни тадкик этиш учун куйидаги коидага амал килиш лозимлигига имкон беради. Энг аввал (3) схемани каноник куринишга келтириш керак ва А,В операторларни аниклаш лозим. Ундан сунг А оператор хоссаларини аниклаш керак. Агар бу оператор мусбат, узига кушма ва n га боглик булмаса, унда (20) шартнинг бажарилишини текшириш керак. (20) шарт ва h га чеклар куяди. Бу чеклар айирмали схеманинг тур шарти деб айтилади.