Дифференциал операторнинг дискрет аналоги ва унинг асосий хоссалари

дифференциал операторнинг дискрет аналоги
ва унинг асосий хоссалари
Биз қуйидаги тенгликни қаноатлантирадиган дискрет операторни қуришни қараймиз
. (5.1)
Бу ерда бу қуйидаги

тенглик билан аниқланган функцияларга мос дискрет аргументли функция, эса қуйидаги кўринишга эга

Юқоридаги (5.1) тенглама қуйидаги тенгламанинг дискрет аналоги ҳисобланади
(5.2)
бу ерда Диракнинг дельта-функцияси, ҳамда дискрет функция дифференциал оператор, яъни дискрет операторнинг ноллари операторнинг нолларига мос келадиган дискрет функциялардир.
Дискрет операторни қуриш учун бизга умумлашган функциялар назаряси ва Фурье алмаштиришларининг маълум таърифлар ва формулаларидан фойдаланамиз.
1-таъриф. Бирор чегараланган тўпламдан ташқарида нолга тенг бўлган функция финит дейилади.
Бир ўлчовли функция учун бошқача айтадиган бўлсак, агар функция учун шундай кесма топилиб, ларда бўлса, бу функция финит функция ва кесма унинг ташувчиси дейилади.
2-таъриф. Чексиз марта дифференциалланувчи финит функциялар тўпламига асосий функциялар фазоси дейилади ва у орқали белгиланади.

3-таъриф. акслантиришга да функционал дейилади, бу ерда комплекс сонлар майдони.
функционалнинг функциядаги қиймати билан белгиланади.
Таърифга асосан комплекс сон.
4-таъриф. Чизиқли, узлуксиз функционалга умумлашган функция дейилади.
Диракнинг дельта-функцияси учун қуйидагилар ўринли
(5.3)
(5.4)
(5.5)
. (5.6)
Ихтиёрий ва узлуксиз функциялар учун уларнинг (свёрткаси) қуйидагича топилади

Қуйидаги формула Фурьенинг тўғри алмаштиришлари

Фурьенинг тескари алмаштиришлари

Иккита функциянинг свёрткасининг Фурье алмаштириши, уларнинг Фурье алмаштиришлари кўпайтмасига тенг яъни

Иккита функциянинг кўпайтмасининг Фурье алмаштириши, уларнинг Фурье алмаштиришларининг свёрткасига тенг

Диракнинг дельта-функциясининг Фурье алмаштириши қуйидагича

Энди биз юқоридаги маълумотлардан фойдаланган ҳолда дискрет операторни қурамиз
1-теорема. дифференциал операторнинг (5.1) тенгликни қаноатлантирувчи дискрет аналоги қуйидаги кўринишда

бу ерда -кичик параметр,
Исбот: Биз умумлашган функциялар назаряси ва Фурье алмаштиришларига асосан, дискрет функция ўрнига бороношаклли функциядан фойдаланамиз. Биз қуйидаги тенгламани қараймиз

бу ерда ва лар ва дискрет аргументли функцияларга мос бороношаклли функциялар, Диракнинг дельта функцияси. Маълумки бороношаклли функциялар синфи ва дискрет аргументли функциялар синфи изоморф (5.13) тенгламанинг чап ва ўнг томонига Фурье алмаштиришини қўллаймиз, у ҳолда (5.10) ва (5.11) формулаларни инобатга олиб қуйидагини ҳосил қиламиз


бундан эса

Энди (5.11), (5.3)-(5.4) ва (5.6) формулалардан фойдаланиб ни ҳисоблаймиз.

(5.5) тенгликдан фойдаланиб (5.1) тенгламани қуйидагича ёзиб оламиз

(5.10) ва (5.11) тенгликлардан фойдаланиб

(5.15) ва (5.16) формулалардан фойдаланиб қуйидагига эга бўламиз



бу ерда

функциянинг Фурье қатори қуйидаги кўринишга эга бўлсин

Бу ерда , функциянинг Фурье коеффициенти. Яъни,

(5.18) тенгликка тескари Фурье алмаштиришини қўллаб бороношаклли функцияни оламиз

Демак, бороношаклли функцияларнинг та`рифига кўра, дискрет функция дискрет аргументли функциядир. функцияни топиш учун биз (5.19) формуладан фойдаланмаймиз, биз (5.17) формуладаги чексиз қаторни ҳисоблаш учун қолдиқлар назарясидаги маълум формуладан фойдаланамиз. Яъни,

бу ерда лар функциянинг қутблари.
Демак

бу ерда нуқталар функциянинг 2-тартибли қутблари. У ҳолда (5.20) формуладан фойдаланиб (5.14) ни қуйидагича ёзиб оламиз


ушбу белгилашни ва комплекс сонлар учун Эйлер формуласини инобатга олиб

бундан эса қуйидагига

ега бўламиз (15) тенгликдан фойдаланиб


бундан эса нинг аналитик кўриниши келиб чиқади


Бу ердан қуйидагини оламиз.

Теорема исботланди.
Энди биз дискрет операторнинг хоссалари билан шуғулланамиз, қуйидаги ўринли.
2-Теорема. дифференциал операторнинг дискрет аналоги қуйидаги тенгликларни қаноатлантиради,

1. 
   ,
   
2. 
   .
   

Исбот.

1. 
   
   

Яъни, дискрет операторимизнинг ихтиёрий сонга свёрткаси ноьга тенг бўлар экан.

2. 
   
   

Юқоридаги тенгликдан кўриниб турибдики, дискрет операторнинг ихтиёрий чизиқли функцияга свёрткаси нольга тенг бўлади.