22-mavzu aniq integral va uning asоsiy хоssalari

5.3.3.2 Integralning o‘rta qiymati haqidagi teorema
Uzluksiz funksiya boshlang‘ich funksiyaga ega ekanligini ko‘rsatish bilan birga aniq integralning asosiy xossasini, ya’ni integralning o‘rta qiymati haqidagi teoremani o‘rganamiz. Keyingi bo‘limda biz bu teoremadan boshqa natijalarni olishda foydalanamiz.
funksiya da uzluksiz nomanfiy funksiya bo‘lsin hamda va sonlari funksiyaning shu intervaldagi minimum va maksimum qiymatlari bo‘lsin. intervalda balandliklari va bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchaklarni qaraymiz. Geometrik nuqtai nazardan, 5.17-rasmdagi funksiyaning ostidagi yuza

5.17-rasm. intervalda funksiya grafigi ostidagi yuzaning maksimumi va minimumi ga teng.


(5.74)
ga teng bo‘lib, bu yuza balandligi bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchakning yuzidan kichik emas va balandligi bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchakning yuzidan katta emas. Shuning uchun interval ustida balandligi va lar orasida ga teng bo‘lib, yuzasi ga teng bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak mavjud; ya’ni
. (5.75)
Quyidagi teorema o‘rinli.
Teorema 5.10. Integralning o‘rta qiymati haqidagi teorema.
Agar funksiya yopiq intervalda uzluksiz bo‘lsa, u holda da kamida bitta shunday son topiladiki,

tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot 5.10. Funksiyaning ekstremal qiymati haqidagi teoremaga ko‘ra, agar funksiya chekli yopiq intervalda uzluksiz bo‘lsa, u holda funksiya da ham absolyut maksimum, ham absolyut minimum qiymatga erishadi; shuning uchun funksiyaning dagi maksimumini va minimumini bo‘lsin deb faraz qilamiz. Shunday qilib, dagi barcha larda

bo‘ladi va 5.7-teoremadan
(5.76)
yoki
(5.77)
yoki
(5.78)
kelib chiqadi. Bundan
(5.79)
ifoda va orasidagi son ekanligi kelib chiqadi, va funksiyani da va orasida joylashadi deb faraz qilganligiamiz uchun o‘rta qiymat haqidagi teoremaga binoan funksiya (5.79) qiymatni dagi biror da qabul qiladi; ya’ni
yoki .
Shuni isbotlash talab etilgan edi.