22-mavzu aniq integral va uning asоsiy хоssalari

5.3.1. Aniq integralning xossalari
5.2-ta’rifda ni yopiq chekli interval va deb faraz qilamiz, va, demakki, aniq integralning yuqori chegarasi uning yuqori chegarasidan katta bo‘ladi. SHunga qaramay, bu ta’rifni yuqori va quyi chegaralar bir-biriga teng yoki quyi chegara yuqori chegaradan katta bo‘lgan hollarga ham qo‘llash mumkin. Buning uchun quyidagi ta’rifni kiritamiz.
Ta’rif 5.3. Integrallanuvchanlik va integrallash chegaralari
Agar ning sohasi bo‘lsa, u holda
.
Agar funksiya da integrallanuvchi bo‘lsa, u holda
.
Izoh 5.3. Bu ta’rifdagi birinchi munosabat o‘qning nuqtasi va egri chiziqdan tuzilgan sohaning yuzasi nolga teng ekanligini bildiradi. Ikkinchi munosabat judayam kerakli munosabatdir; integrallash chegaralarining o‘rinlari almashtirilganda integralning ishorasi o‘zgaradi.
Teorema 5.5. Aniq integralning algebraik xossalari
va funksiyalar da integrallanuvchi funksiyalar bo‘lsa va o‘zgarmas son bo‘lsa, u holda , va funksiyalar ham da integrallanuvchi funksiyalar bo‘ladi va

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   .
   

Teoremaning b) qismi funksiyalar soni ikkitadan ko‘p bo‘lganda ham o‘rinli. Aniq integralning ba’zi xossalari integralning yuza ekanligi bilan tushuntiriladi. Masalan, agar funksiya intervalda uzluksiz va nomanfiy funksiya bo‘lsa, va agar esa va orasidagi nuqta bo‘lsa, u holda intervalda
funksiya ostidagi yuza ikkita qismga - dan gacha bo‘lgan grafik ostidagi yuza va dan gacha bo‘lgan grafik ostidagi yuzaga bo‘linishi mumkin, ya’ni
(5.60)
Aniq integrallar to‘g‘risidagi quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz.