22-mavzu aniq integral va uning asоsiy хоssalari

5.14-rasm. intervalda chegaralanmagan funksiya.
5.3.3 Integral hisobning asosiy teoremasi
Bu bo‘limda biz aniq va aniqmas integrallar orasidagi ikkita asosiy munosabatlarni keltiramiz. Bu natijalar birgalikda integral hisobning asosiy teoremasi deyiladi. Bu teoremananing birinchi qismi to‘g‘ri to‘rtburchak va yuzalarni boshlang‘ich funksiya yordamida hisoblash bilan bog‘liq, ikkinchi qismi esa boshlang‘ich funksiya yordamida aniq integrallarni baholashga bag‘ishlangan.
5.3.3.1 Integral hisobning asosiy teoremasi
Bundan oldingi bo‘limdagi kabi, funksiya intervalda nomanfiy va uzluksiz bo‘lib, bu holda funksiya grafigi ostidagi va interval ustidagi figuraning yuzasi quyidagi aniq integral yordamida topiladi
. (5.61)

5.15-rasm. intervalda funksiya grafigi ostidagi yuza.
Boshlang‘ich funksiya haqidagi mulohazalarni esga olaylik, agar funksiya grafigining dan gacha bo‘lgan qismining yuzasi bo‘lsa, u holda
(5.62)
(5.63)
. (5.64)
formula tasdiqlaydiki, funksiya funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘ladi, bundan funksiyaning dagi har qanday boshqa boshlang‘ich funksiyasi funksiyaga o‘zgarmas sonni qo‘shib qo‘yish bilan topiladi. Mos ravishda,
(5.65)
funksiya funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsin va dan ni ayiramiz:
(5.66)
Shunday qilib, (5.61) tenglama
(5.67)
ko‘rinishda ifodalanishi mumkin. Oxirgi tenglamani so‘zlar bilan tushuntiramiz:
Aniq integralni hisoblash uchun integral ostidagi funksiyaning birorta boshlang‘ich funksiyasini topish va bu boshlang‘ich funksiyaning qiymatini integrallash oralig‘ining yuqori va quyi qiymatlarida hisoblab, olingan natijalarni bir-biridan ayirish kerak.
Biz funksiyaning da nomanfiy bo‘lishini talab qilayotgan bo‘lsakda, aslida bu faraz muhim emas.
Teorema 5.9. Integral hisobning asosiy teoremasi, I-qism.
Agar funksiya da uzluksiz funksiya bo‘lib, funksiya funksiyaning dagi ixtiyoriy boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, u holda

tenglik o‘rinli.
Isbot 5.9. sonlar dagi sonlar bo‘lib, ular

shartni qanoatlantirsin. ni ta
, , ...,
qism intervallarga bo‘lib, ularning uzunliklarini
, ,
bilan belgilaymiz. Farazga ko‘ra, dagi barcha larda tenglik o‘rinli, shuning uchun funksiya yopiq intervalda ayirmali munosabatni qanoatlantiradi.
Demak, shunday sonlar topiladiki, mos ravishda har bir qism intervalda





munosabatlar bajariladi. Bu tenglamalarni qo‘shsak (jamlasak),
(5.68)
tenglikni olamiz.
Endi sonini shunchalik kattalashtiramizki, natijada bo‘lsin. funksiyani uzluksiz funksiya deb faraz qilganligimiz uchun, 5.4-teorema va 5.2-ta’rifga binoan, (5.68) ning o‘ng tomoni ga intiladi. Ammo (5.68) ning chap tomoni ga bog‘liq emas; ya’ni (5.68) ning chap tomoni cheksiz o‘sganda ham o‘zgarmas bo‘lib qoladi. SHunday qilib,

Shuni isbotlash talab etilgan edi.
ayirmani
yoki (5.69)
ko‘rinishda belgilash qabul qilingan. Masalan, bu belgilashlardan birinchisidan foydalanib,
(5.70)
ko‘rinishda yozishimiz mumkin.