2. Loran qatorining to’g’ri qismi

Teorema 2. funksiya halqada golomorf bo’lsin. Bu funksiyaning Loran qatoriga yoyilmasi

yagonadir.
Isbot: Teskarisi faraz qilaylik. V sohada golomorf bo’lgan funksiyaning Loran qatori ikkita
(12)
(13)
Bo’lib, bo’lsin. Ushbu

tenglikning ikkala tomonini ga ko’paytib, , aylanada hadma–had integrallaymiz:
. (14)
Bizga ma’lumki, ixtiyoriy m soni uchun

edi. Bu tenglikdan foydalanib, (14) munosabatdan

bo’lishini topamiz. Bu esa teoremani isbotlaydi.
Odatda, bu yagonalik teoremasi deyiladi.
Misol. Ushbu

funksiyani halqada Loran qatoriga yoying.
Berilgan funksiya halqada golomorf. Binobarin, 1-teoremaga ko’ra funksiya shu sohada Loran qatoriga yoyiladi. Bu yoyilmani topish uchun qaralayotgan funksiyani quyidagicha yozib olamiz:
. (15)
Bu tenglikning o’ng tomonidagi bo’lganligidan doirada golomorf.
Ravshanki,

bo’lib,

bo’ladi. Demak,
.
Bu qator doirada yaqinlashuvchi.
Endi o’ng tomondagi funksiyani olib, uni quyidagicha yozib olamiz:
.
Bu funksiya da golomorf bo’lib, u yaqinlashuvchi

qatorga yoyiladi. Demak,

bo’lib, u da yaqinlashuvchi bo’ladi.
Natijada sohada (15) tenglikka ko’ra

bo’ladi. Demak,
.
Teylor qatori f(x) funktsiyani birorta darajali qatorning yig`indisi ko`rinishida ifodalashga berilgan funktsiyani qatorga yoyish deb ataladi.
Faraz qilaylik, f(z) funktsiya biror (-R; R) oraliqda darajali qatorga yoyilgan bo`lsin:
f(z)=a<sub>0</sub>+a<sub>1</sub>(z-z<sub>0</sub>)+a<sub>2</sub>(z-z<sub>0</sub>)<sup>2</sup>+…+a<sub>n</sub>(z-z<sub>0</sub>)<sup>n</sup>+… (16)
(1) qatorning koeffisiyentlari va x<sub>0</sub> nuqtadagi hosilalarini f(z) funktsiyaning qiymatlari orqali ifodalaymiz. U holda, qatorning birinchi hadi f(z<sub>0</sub>) =z<sub>0</sub> (17)
dan iborat bo`ladi.
f(z) funktsiya z₀ nuqtada aniqlangan va shu nuqtada istalgan tartibli hosilaga ega ekanligini e`tiborga olib, f’(z) topamiz:
f`(z)=a₁+2a₂(z-z₀)+3a₃(z-z₀)²+…+na_n(z-z₀)^n-1+… (18)
Bundan, x = x₀ bo`lgan holda
f`(z₀)=a₁ (19)
ekanligi ko`rinadi.
Makloren qatori
, , , , ,...
Bu qiymatlarni ushbu qatorga qo`yamiz:
(20)
Hosil bo`lgan (2) qatorga Makloren qatori deyiladi.

formula esa qoldiq hadli Makloren formulasidir.
Teylor va Makloren qatorlaridan ko`rinadiki, Makloren qatori Teylor qatorining xususiy holidan iborat bo`lib, Teylor qatoridagi x = 0 bo`lganda ikkala qator ham bir xil ko`rinishga ega bo`ladi.
1.f(z) =e<sup>z</sup> funktsiyani z darajasi bo`yicha Makloren qatoriga yoyish.
Yechilishi: e^z ning hosilalarini ketma–ket topamiz va z=0 nuqtada ularning qiy-matlarini aniqlaymiz:
, , , ,…
z=0 bo`lganda:
, , , ,…
Bu qiymatlarni Makloren qatoriga qo`ysak, quyidagi qator hosil bo`ladi: