2. Loran qatorining to’g’ri qismi

Tarif: Agar ikkita f(z) funksiyalar ko`paytmasining chegaralari a va b dan iborat bo`lgan integrali nolga teng bo`lsa, bu funktsiyalar (a, b) oraliqda ortogonal deyiladi.
Teorema. Quyidagi
1, cos z , cos 2z, cos 3z,…, sin z, sin 2z, sin 3z,… (21)
Agar (1) sistemadagi ikkita har xil funktsiyalar o`rniga bir xil funktsiyalar olinsa, u holda, birinchi funktsiyadan tashqari barcha funktsiyalarning – va oraliqda olingan integrali dan iborat bo`ladi. Birinchi funktsiyaning integrali esa 2 dir, ya`ni:
, (22)
(23)
(24)
Bunda n = 1, 2, 3,… dir.
(23) va (24) formulalar
va
almashtirishlar yordamida hosil qilinadi. Yuqoridagi (2)-(8) formulalar o`zunligi 2 dan iborat bo`lgan ixtiyoriy oraliqlar uchun o`rinlidir.
Agar berilgan biror funktsiyalar sistemasida har bir juft funktsiya ortogonal bo`lsa, u holda, shu sistemaning o`zi ham ortogonal sistema bo`ladi.
1-misol. (- , ) oraliqda f(z)=sin5z va (z)=cos2z funktsiyalarning ortogonalligini tekshiring.
Yechilishi: Berilgan funktsiyalar ko`paytmasini (- , ) oraliqda integrallaymiz:

Bunda cos x funktsiyaning juft ekanligi hisobga olindi.
2-misol. (- , ) oraliqda f (z)=sin2z va f (z)=sin4z funktsiyalarning ortogonalligini tekshiring.
Yechilishi:

Demak, berilgan funktsiyalar ortogonal.
3-misol. oraliqda f(z)=sin2z va (z)=sin4z funktsiyalarning ortogonalligini tekshiring.
Yechilishi:

4-misol. (-2 , 0) oraliqda ikkita bir xil funktsiyalar ko`paytmasi cos²3x ning ortogonalligini tekshiring.
Yechilishi: