13 – лекция Обработка результатов имитационного эксперимента

13-мавзу. Имитация тажрибаси натижаларини қайта ишлаш.
Дисперсион таҳлил элементлари. Фишер мезони. Вилкоксон мезони. Бирфакторли дисперсион таҳлил. Аҳамиятсиз факторларни аниқлаш. Корреляцион таҳлилнинг моҳияти. Тажриба натижаларини регрессия асосида қайта ишлаш.


13 – лекция
Обработка результатов имитационного эксперимента.
План:
1. Элементы дисперсионного анализа. Критерий Фишера.
2. Критерий Вилкоксона.
3. Однофакторный дисперсионный анализ.
4. Выявление несущественных факторов.
5. Сущность корреляционного анализа.
6. Обработка результатов эксперимента на основе регрессии.

1. Элементы дисперсионного анализа. Критерий Фишера

Приведем понятия, которые используем в дальнейшем. В математической статистике (а это основной математический аппарат обработки результатов моделирования) используется понятие гипотезы.
Гипотезой называется предположение:
• о законах распределения вероятностей случайных величин;
• значениях характеристик случайных величин;
• совпадении законов распределения двух и более случайных величин и др.
Обычно исходную гипотезу называют нулевой и обозначают . Противоположное утверждение называют конкурирующей гипотезой и обозначают .
Гипотеза подвергается проверке. Смысл этой проверки в том, чтобы принять или отклонить ее с допустимым минимальным риском. При этом возможны ошибки:
• забраковать проверяемую гипотезу, если она верна, что соответствует так называемой ошибке первого рода;
• принять проверяемую гипотезу, когда она не верна, значит, совершить ошибку второго рода.
Правило, по которому принимается суждение об истинности или ложности основной гипотезы , называют критерием проверки, или критерием согласия.
В практике моделирования и обработки экспериментальных данных очень часто необходимо решать проблему подтверждения или опровержения гипотезы о принадлежности двух или более выборок одной генеральной совокупности.
К этой проблеме приводят такие задачи:
• сравнительная оценка различных технологических процессов по их производительности, точности, экономичности;
• сравнение конструктивных особенностей приборов, машин, средств вооружения и др.
Признаки, по которым проводится сравнительная оценка, часто не являются детерминированными, обладают рассеиванием. Например, точность никогда не может быть абсолютной, так как измерительные приборы всегда несут в себе ошибку.
Наиболее общим и часто применяемым на практике методом сравнения качеств объектов является дисперсионный анализ.
Сущность дисперсионного анализа состоит в проверке гипотезы о тождественности выборочных дисперсий одной и той же генеральной дисперсии.
Почему исследователей интересует сравнение именно дисперсий, а не каких-либо других характеристик? Заметим, что есть методики сравнения, например, математических ожиданий и др., но они не обладают такой общностью, как дисперсионный анализ.
А дело в том, что дисперсия характеризует важные конструкторские и технологические показатели, такие как:
• точность приборов;
• рассеивание точек попадания при стрельбе и др.
И еще дисперсионный анализ одновременно решает проблему проверки гипотезы о равенстве средних значений выборок.
Задача сравнения дисперсий сводится к проверке исходной гипотезы (нулевой гипотезы ) о принадлежности двух выборок одной и той же генеральной совокупности.
Для проверки гипотезы о равенстве дисперсий нужно иметь независимую функцию, вычисляемую по данным эксперимента.
Такой функцией является функция Фишера (распределение Фишера, -распределение), определяемая так:
,
где – случайные величины, имеющие распределение – степени свободы случайных величин U и V соответственно, – количество испытаний (объемы выборок).
Почему является мерой сравнения дисперсий? Потому что дисперсии, являясь суммой квадратов ошибок, имеют распределение .
Распределение хи-квадрат определяется следующим образом:

где – число степеней свободы; – число Эйлера (2,71...); – гамма- функция.
График плотности F-распределения показан на рис. 5.2.

Рис. 5.2. График плотности F-распределения

Итак, случайная величина

,
где – несмещенные оценки дисперсий, полученных из независимых выборок, взятых из нормальных совокупностей, имеет распределение Фишера ( -распределение).
Величина случайна, судить однозначно по ее величине о подтверждении или опровержении гипотезы об однородности исследуемых выборок нельзя.
Поэтому вводится -ный уровень значимости, численно равный вероятности неприемлемых отклонений от принятой гипотезы. Области неприемлемых значений показаны на рис. 5.2 штриховкой. Граничные точки допустимых значений определяются точками , соответствующими вероятностям .
Если вычисленное по данным эксперимента значение попадает в область между точками :
,
то принятая гипотеза не опровергается.
Заметим, что случайная величина

также имеет -распределение со степенями свободы соответственно. Следовательно, вероятность попадания числа в левую критическую область равна
.
Отсюда следует, что левая критическая точка -распределения соответствует правой критической точке -распределения, т.е. правые точки распределений определяют левую и правую точки . Поэтому в таблицах представлены только правые критические точки -распределения.
В таблицах значения приведены в зависимости от , числа степеней свободы .
Обычно при вычислении в числитель отношения ставят значение большей дисперсии.
Итак, при принятая гипотеза не опровергается, при – не подтверждается.