|
Пример 5.7
Для оценки конструкции нового крупнокалиберного пулемета было произведено выстрелов по щиту, отстоявшему на расстоянии м.
Результаты отклонений попаданий от точки прицеливания (боковые – по высоте – ,) объединены в десятисантиметровые диапазоны и сведены в таблицу (табл. 5.9).
Таблица 5.9
Отклонения отточки прицеливания
|
Боковые отклонения
|
Всего
|
-20
|
-10
|
0
|
10
|
20
|
30
|
40
|
-50
|
0
|
0
|
1
|
0
|
2
|
0
|
0
|
3
|
-40
|
0
|
1
|
1
|
1
|
2
|
0
|
0
|
5
|
-30
|
1
|
1
|
3
|
5
|
2
|
1
|
0
|
13
|
-20
|
1
|
3
|
7
|
3
|
2
|
2
|
0
|
18
|
-10
|
0
|
2
|
6
|
10
|
3
|
0
|
0
|
21
|
0
|
0
|
1
|
6
|
6
|
6
|
1
|
1
|
21
|
10
|
0
|
0
|
3
|
3
|
3
|
1
|
0
|
10
|
20
|
0
|
1
|
1
|
2
|
1
|
0
|
0
|
5
|
Всего
|
2
|
9
|
28
|
30
|
21
|
5
|
1
|
96
|
Для оценки конструктивных особенностей пулемета необходимо узнать: есть ли какая-то связь между боковыми отклонениями и отклонениями по высоте?
Решение
Ответ на поставленный вопрос о наличии или отсутствии связи может дать коэффициент корреляции.
Предварительно заметим, что группировка измерений в десятисантиметровые диапазоны вносит некоторую ошибку в дальнейшие расчеты, однако можно показать, что при данной группировке ошибка несущественна.
В табл. 5.9 указаны не реальные отклонения, а центры диапазонов .
Для определения коэффициента корреляции понадобятся следующие
характеристики: ковариация .
Все эти характеристики вычисляются по данным измеренных отклонений – боковых и по высоте y.
Для примера приведем расчет :
Результаты расчета остальных характеристик:
Теперь вычислим оценку коэффициента корреляции:
Среднее квадратическое отклонение этой оценки:
Из-за малого количества выстрелов оценка определена с ошибкой, которая в предположении о нормальном распределении случайной величины и достоверности, например, равна
Отсюда следует, что истинное значение коэффициента корреляции г лежит в пределах
.
Обнаружена небольшая линейная зависимость отклонений боковых и отклонений по высоте. Баллистики, отвергая непосредственную корреляцию между отклонениями , объясняют значение влиянием конструктивных особенностей пулемета. Обнаружена также систематическая ошибка в прицеле: .
6. Обработка результатов эксперимента на основе регрессии
Часто целью исследования является определение функциональной связи между факторами и откликом (реакцией модели) по данным, полученным при экспериментах с моделью объекта или непосредственно с объектом. Такая цель достигается регрессионным анализом значений факторов х и отклика у.
Под регрессией в теории вероятностей и математической статистике понимают зависимость среднего значения какой-либо величины от некоторой другой (других) величины. Регрессионный анализ – это совокупность методов построения и исследования регрессионной зависимости между величинами (в нашем случае между факторами и откликом) по статистическим данным. Статистические данные определяются и накапливаются при проведении эксперимента.
Формальная схема эксперимента выглядит так (рис. 5.6).
Рис. 5.6. Формальная схема эксперимента
Прямоугольник представляет собой исследуемый объект или его математическую модель. Обозначения на рис. 5.6:
• – значения факторов, ;
• , – случайный фактор, помеха. Будем считать, что эта случайная величина имеет нормальное распределение с математическим ожиданием . Влияние помехи на отклик аддитивное, т.е. ее случайные значения прибавляются к значениям отклика;
• – искомая функциональная зависимость между факторами и откликом.
Отклик – величина случайная; представляет собой среднее значение отклика (так как .
Исследуемый объект представляется как «черный ящик», никаких предположений о виде функции нет. Поэтому представим ее в виде аппроксимирующего полинома:
.
Этот полином получил название уравнения регрессии, а коэффициенты – коэффициентов регрессии. От точности подбора коэффициентов регрессии зависит точность представления .
Коэффициенты , определяются путем обработки полученных в ходе эксперимента варьируемых значений факторов и откликов.
.
Однако из-за ограниченного числа наблюдений точные значения ; получить нельзя, будут найдены их опенки
Поэтому уравнение регрессии принимает вид
.
Вообще-то метку над у теперь надо бы изменить, так как вместо ,- в уравнении теперь стоят но мы этого делать не будем, чтобы не загромождать изложение новыми знаками.
В уравнении регрессии могут участвовать и так называемые совместные эффекты ( и т.п.) или степени значений факторов (. | и т.п.). Совместные эффекты и степени факторов можно обозначать обобщенным фактором.
Например, уравнение регрессии
можно представить так:
.
Итак, для определения выражения надо:
• выбрать степень аппроксимирующего полинома – уравнения регрессии;
• определить коэффициенты регрессии.
Выбор уравнения регрессии обычно начинают с линейной модели. Например, для двухфакторного эксперимента ее вид
.
Если окажется, что такая аппроксимация дает неприемлемые отклонения при сравнении с экспериментальными точками отклика у, то модель усложняется, например так:
или
Коэффициенты регрессии для выбранного уравнения определяются из условия минимума суммы квадратов ошибок, вычисленных по всем экспериментальным точкам.
Это делается так.
Введем обозначения:
• – значение -го фактора в наблюдении номер ;
• – значение отклика в -м наблюдении;
• – значение отклика, вычисленное по принятому уравнению регрессии и данным .
Очевидно, что сумма квадратов ошибок между экспериментальными значениями ; и вычисленными по уравнению регрессии для всех наблюдений равна
.
Для определения минимума ошибки возьмем частные производные от по всем неизвестным коэффициентам регрессии , и приравняем их к нулю:
.
Нетрудно убедиться в том, что это условие минимума, а не максимума. Имеем
.
Для лучшей наглядности выделим неизвестные коэффициенты регрессии и получим
.
Выражение (5.3) представляет собой систему из уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов регрессии „ которые окончательно определят выбранное уравнение регрессии.
Нахождение коэффициентов регрессии справедливо при следующих допущениях.
1. Случайный фактор , имеет нормальное распределение с математическим ожиданием .
2. Результаты наблюдений – независимые, нормально распределенные случайные величины. Если это не соблюдается, то следует измерять другой отклик, удовлетворяющий этому условию, но функционально связанный с исследуемым откликом .
3. Точность наблюдений (количество реализаций модели) не меняется от наблюдения к наблюдению.
4. Точность наблюдения должна быть выше точности ,.
Do'stlaringiz bilan baham: |
