11-ma’ruza. Ehtimollar nazariyasiga doir masalalarni yechishda o’quvchilarni kasbga yo’naltirib o’qitish imkoniyatlari

Topshiriq. Kombinatorika yordamida ehtimollikni hisoblash

Diqqatni jamlang! Maqsad guruhda ijobiy kayfiyat shakllantirib, diqqatlarini jarayonga qaratish.
Kun hikmati!Donishmand va mutafakkirlar fikri.
…Doim bir xil narsaga qarayverish malollik va sabrsizlikka olib keladi. Ta’lim har xil usullarda uyushtirilganda o‘quvchi turli gullar ochilgan bog‘da yurganga o‘xshaydi. Ularga qiziqadi, ko‘rishni istaydi.
Abu Rayxon Beruniy
Subyektiv konsepsiyalarni aniqlash. Tasodifiy hodisalar va ularning ehtimolligi bilim, ko‘nikma, malaka, kompetensiyalarni “Blits so‘rov” metodi asosida takrorlash
Ehtimolliklarni qo’shish va ko’paytirish teoremalari.
Shartli ehtimollik.
14.2.1 Ikkita A va B hodisaning yig’indisi deb A hodisaning, yoki B hodisaning, yoki bu ikkala hodisaning ro’y berishidan iborat C=A+B hodisaga aytiladi.
Birgalikda bo’lmagan ikkita A va B hodisa yig’indisining ehtimolligi bu hodisalar ehtimolliklarining yig’indisiga teng:
P(A+B)=P(A)+P(B).
Bur nechta juft-jufti bilan birgalikda bo’lmagan hodisalar yig’indisining ehtimolligi bu hodisalar ehtimolliklarining yig’indisiga teng :

P(A₁+A₂+….+A_n)=P(A₁)+P(A₂)+…..+P(A_n).

To’la gruppa tashkil etuvchi A, A, …, A hodisalar ehtimolliklarining yig’indisi 1 ga teng . ya’ni:
P(A₁)+P(A₂)+…..+P(A_n).=1

5-mavzu: Ehtimolliklarni qo‘shish va ko‘paytirish. Hodisalarning ehtimolliklarni hisoblash usullari.
Qarama-qarshi hodisalar ehtimolliklarining yig’indisi 1 ga teng , ya’ni:
P(A)+P(A¯)=1.
14.2.2. Ikkita A va B hodisaning ko’paytmasi deb, bu hodisalarning birgalikda ro’y berishidan iborat C=A*B hodisaga aytiladi.
Ikkita erkli hodisaning birgalikda ro’y berishi ehtimolligi bu hodisalar ehtimolliklarining ko’paytmasiga teng:
P(AB)=P(A)*P(B).
Birgalikda erkli bo’lgan bir nechta hodisaning ro’y berishi ehtimolligi bu hodisalar ehtimolliklarining ko’paytmasiga teng:
P(A₁*A₂*….*A_n)=P(A₁)*P(A₂)*…..*P(A_n).
B hodisaning A hodisa ro’y berdi degan shartda hisoblangan ehtimolligi shartli ehtimollik deyiladi. Shartli ehtimollik quyidagicha belgilanadi:
P_A (B) yoki P(B/A).
Ikkita bog’liq hodisaning birgalikda ro’yberishi ehtimolligi uchun quyidagi formulalar o’rinli :
P(AB)=P(A)*P_A(B) yoki P(AB)=P_B*P_B(A).
Bir nechta bog’liq hodisalarning birgalikda ro’y berish ehtimolligi quyidagi formula bo’yicha hisoblanadi:
.
14.2.3. A va B tasodifiy hodisalar yig’indisining ehtimolligi uchun quyidagi formula o’rinli:
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
14.2.4. To’la ehtimollik formulasi .B₁,B₂,…,B_n lar hodisalarning to’la guruhini tashkil etib , A hodisa ularning biri bilan ro’y berishi mumkin bo’lsin. U holda

P(A)= .

14.2.5. Beyes formulasi. Agar A hodisa ro’y bergani ma’lum bo’lsa , u holda P(B_k), k=1,n ehtimolliklarni qayta baholash mumkin , ya’ni P_A(B_k) shartli ehtimolliklarni ushbu Beyes formulasi yordamida toppish mumkin :
P_A(B_k)= .
1-misol. Sexda bir nechta stanok ishlaydi.Smena davomida bita stanokni sozlashni talab etish ehtimolligi 0,2 ga teng , ikkita stanokni sozlashni ehtimolligi 0,13 ga teng. Smena davomida ikkitadan ortiq stanokni sozlashni talab etish ehtimolligi esa 0,07 ga teng. Smena davomida stanoklarni sozlashni talab etilishi ehtimolligini toping.
Yechish. Quyidagi hodisalarni qaraymiz: A- smena davomida bitta stanok sozlashni talab etadi hodisasi;
B-smena davomida ikkita stanok sozlashni talab etadi hodisasi;
C-smena davomida 2 tadan ortiq stanok sozlashni talab etdi hodisasi.
A, B, C hodisalar o’zaro birgalikda emas . Bizni quyidagi hodisa qiziqtiradi(A+B+C)- smena davomida sozlash zarur bo’ladigan stanoklar:
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0,2+0,13+0,07=0,4.
2-misol. Ikkita ovchi bir paytda bir-biriga bog’liq bo’lmagan holda quyonga qarata o’q uzishdi. Ovchilardan hech bo’lmaganda biri o’qni nishonga tekkazsa, quyon otib olingan bo’ladi. Birinchi ovchining nishonga urish ehtimolligi 0,8 ga, ikkinchisiniki 0,75 ga teng bo’lsa, quyonni otib olish ehtimolligini toping.
Yechish.Quyidagi hodisalarni qaramiz:
A- Birinchi ovchi nishonga tekkazishi;
B- Ikkinchi ovchi nishonga tekkazishi.
A va B erkli hodisalar. Bizni (A+B) hodisa qiziqtiradi. (A+B)- hech bo’lmaganda bitta ovchining nishonga tekkazishi. U holda
P(A+B)=P(A)+P(B) – P(A*B)=0,8+0,75 – 0,8*0,75=0,95.
P(A+B)=0,95.
3-misol. Komandada 12 sportchi bo’lib , ularning 5 tasi sport ustasi. Sportchilar ichidan qur’a tashlash orqali uch sportchi tanlanadi. Tanlangan sportchilarning hammasi sport ustasi bo’lish ehtimolligini toping.
Yechish. A₁ – birinchi sportchi – sport ustasi;
A₂ – ikkinchi sportchi – sport ustasi;
A₃ – uchinchi sportchi – sport ustasi.
A=A₁*A₂*A₃ – uchala sportchi – sport ustasi.
A₁,A₂,A₃, hodisalar – bog’liq hodisalar. Demak,
P(A)=P(A₁,A₂,A₃)=P(A₁) =
4-misol. Talaba o’ziga kerakli formulani 3 ta ma’lumotnomadan qidiradi. Formula birinchi, ikkinchi, uchinchi ma’lumotnomada bo’lish ehtimolligi mos ravishda 0,6; 0,7; 0,8 ga teng.

1. 
   faqat bitta ma’lumotnomada bo’lishi;
   
2. 
   faqat ikkita ma’lumotnomada bo’lishi;
   
3. 
   uchala ma’lumotnomada bo’lishi;
   
4. 
   hech bo’lmaganda bitta ma’lumotnomada bo’lish ehtimolligini toping
   

Yechish.Quyidagi hodisalarga qaraymiz:
A₁ - formula birinchi ma’lumotnomada bor,
A₂ - formula ikkinchi ma’lumotnomada bor
A₃ - formula uchinchi ma’lumotnomada bor
a A=A₁ Ā₂Ā₃ +Ā₁ A ₂Ā₃+ Ā₁ Ā₂A₃ – formula faqat bitta malumotnomada bor.
A₁ , Ā₂ , Ā₃ , Ā₁ ,A₂ , Ā₃ , Ā₁ ,Ā₂ ,A₃ hodisalar birgalikda emas va A₁ , Ā₂ , Ā₃ ; Ā₁ ,A₂ , Ā₃ ; Ā₁ ,Ā₂ ,A₃ hodisalar bog’liq emas. Demak
P(A)= P(A₁) P(Ā₂) P(Ā₃) + P(Ā₁) P(A₂) P(Ā₃) +P( Ā₁),P(Ā₂) P(A₃)=0,6*0,3*0,2 + 0,4*0,7*0,2+ +0,4*0,3*0,8=0,188.
b) A =A₁ Ā₂Ā₃ +Ā₁ A ₂Ā₃+ Ā₁ Ā₂A₃ - formula faqat ikkita ma’limotnomada bor.demak
P(A)=0,6*0,7*0,2 +0,6*0,3*0,8 +0,4*0,7*0,8=0,452.
c) A=A₁ A₂ A₃ – formula uchala ma’lumotnomada bor.
P(A)=0,6*0,7*0,8=0,336.
d A=A₁+ A₂+A₃ –formula hech bo’lmaganda bitta ma’lumotnomada bor.Mazkur holda A hodisaga qarama-qarshi hodisani qarash qulay.
Ā – formula hech bir ma’lumotnomada yo’q
Ā= Ā₁Ā₂Ā₃ , u holda P(A)=1 –P(Ā).
P(A)=1-P(Ā)=1- P(Ā₁Ā₂Ā₃)=1- P(Ā₁ ) P(Ā₂ ) P(Ā₃)=1-0,4*0,3*0,2=1-0.024=0,976.
Shunday qilib a) P(A)=0,188; b) P(A)=0,452; c) P(A)=0,336; d) P(A)=0,976.
5-misol.Birinchi qutida esa 4 ta oq,2 ta qora shar bor.Birinchi qutidan tavakkaliga 2 ta shar olib, ikkinchi qutiga solindi,shundan keyin 2-qutidan tavakkaliga bitta shar olindi.
a) Olingan shar oq bo’lishi ehtimolliligi qanday?
b) 2-qutidan olingan shar oq bo’lib chiqdi, Birinchi qutidan olib ikkinchi qutiga solingan 2 ta shar oq bo’lishi ehtimolligi qanday?
Yechish. a) quyidagi belgilashlarni kiritamiz: