181
О роли математики в современной человеческой культуре
лений, которые образуют
математическое естествознание.
В рам-
ках математического естествознания
можно выделить следующие
три уровня теорий, различающихся между собой с некоторых об-
щеметодологических позиций.
К первому из них следует отнести математические модели ин-
дивидуальных явлений. Например, математическая теория движе-
ния муравьев в окрестности муравейника, математическая теория
движения крови в сосудах, математическая модель сердца.
Далее идут математические теории некоторых классов явле-
ний, допускающих единое математическое описание. Здесь имеют-
ся в виду классы изоморфных между собой явлений. Например,
изучение ламинарного потока жидкости, изучение магнитного,
гравитационного или электростатического
поля при помощи гар-
монических функций. Описание тех или иных физических явле-
ний, обладающих определёнными свойствами симметрии, при по-
мощи теории групп, а также описание задач типа математической
физики на языке функционального анализа. Характерным для это-
го подхода является то, что строится общая математическая кон-
цепция, адекватно описывающая целый класс явлений, и изучают-
ся её свойства. А дальше этот математический язык используется
для описания тех классов явлений, где соответствующая концеп-
ция с достаточной степенью точности приложима.
Наконец, третьим уровнем абстракции
являются такие мате-
матические модели, где формальному описанию подлежат не толь-
ко свойства изучаемых объектов, но и процедура логического об-
ращения с ними. Это бывает нужно в тех случаях, когда природа
вопроса такова, что логические средства обращения с объектами
оказываются поневоле ограниченными. Например, изучая функ-
ционирование человеческого сознания, мы можем описать отдель-
ные акты, выполняемые сознанием, но мы не можем составить
перечень всех таких актов. Описывая структуру человеческого об-
щества, мы можем описать отдельные
его ячейки или отдельные
закономерности, которые мы наблюдаем на ограниченном матери-
але, но мы не можем составить полного описания всей структуры
человеческого общества, так же, как, изучая систему человеческих
знаний или человеческий язык, мы всегда связаны тем, что мы
можем использовать сопоставление лишь в рамках ограниченного
материала. Поэтому рассуждения такого характера, где мысленно
нужно представить себе выполненным полный перебор всех имею-
щихся вариантов, нельзя считать дозволенными, несмотря на то,
что с формальной точки зрения набор этих вариантов конечен.
Однако их перебор выходит за пределы человеческих возможнос-
182
III. ИЗБРАННЫЕ СТАТЬИ А.А. ЛЯПУНОВА
тей. В таких случаях нам приходится рассматривать математичес-
кие модели изучаемых явлений, в которых формализуется не толь-
ко изучаемый материал, но и сами процессы изучения. Другими
словами, если предыдущий уровень требовал представлений теоре-
тико-множественного характера, то данный уровень требует пред-
ставлений логико-математического характера.
Существенно новые требования к строению научных теорий
предъявляет также сам характер тех эмпирических знаний, кото-
рые человечество приобретает в течение последних десятилетий.
Существенной и давно отмечавшейся чертой этих знаний является
то, что процесс получения знаний о
некотором природном явле-
нии не остается безразличным по отношению к течению самого
явления. Исследователь, изучая определенное природное явление,
оказывается вынужден вмешаться в его течение и нарушить его
естественный ход. Примеров этому можно принести весьма много
из разных областей знаний. В области физики экспериментатор,
работающий с элементарными частицами, чтобы пронаблюдать со-
стояние или положение некоторой частицы, должен ударить её
другой частицей и зафиксировать происшедший эффект. При этом
состояние первой частицы изменяется. В теории относительности
приходится считаться не только с системой координат изучаемого
объекта, но также и с системой координат наблюдателя. В биоло-
гии
для изучения процессов, протекающих в клетке и обеспечива-
ющих её жизнедеятельность, приходится умерщвлять клетку, рас-
сматривать сохранившиеся там структуры и только косвенным
образом делать заключение о процессах жизнедеятельности.
Однако ещё более разительные явления происходят в сфере
изучения функционирования человеческого сознания. Наблюдения
за функционированием сознания осложняются тем, что точная пе-
редача от одного человека к другому того, что происходит в созна-
нии первого, чрезвычайно затруднена. Поэтому приходится наб-
людать самого себя. Однако если человек наблюдает работу своего
сознания, то его сознание работает не так, как обычно.
Если бы
даже можно было осуществлять передачу функционирования со-
знания одного человека сознанию другого человека, то то же самое
явление возникло бы у того человека, который должен был бы
описать функционирование своего сознания.
При изучении языка, т. е. основного средства передачи ин-
формации между людьми, возникает необходимость развития точ-
ных математических методов и математических моделей функцио-
нирования языка. Затем приходится эти точные результаты сопо-
ставлять с реальным языком. Один и тот же текст может выступать
183
О роли математики в современной человеческой культуре
как
исходный человеческий текст, как текст на точном искусст-
венном языке, служащем для описания реального языка, а также
как текст реального языка, подвергающегося изучению со стороны
точной системы. Таким образом,
Do'stlaringiz bilan baham: 
