100 лет со дня рождения

Требования, предъявляемые к фактическим знаниям
Широкое внедрение математической мысли в систему челове-
ческих знаний предъявляет весьма своеобразные требования к са-
мим эмпирическим знаниям. Основным является то, что матема-
тический подход приводит фактический материал в некоторую 
цельную систему и в определённых рамках обеспечивает достовер-
ность знаний. Однако такой математический подход может быть 
развит только при наличии определённых условий. Исходный ма-
териал должен быть достоверным, объективным и обладать доста-

---

177
О роли математики в современной человеческой культуре
точной степенью точности и полноты. Это вовсе не значит, что 
исключаются знания описательного характера. Отнюдь нет. Тща-
тельное описание эмпирического материала является необходимым 
элементом для возможности построения точной системы знаний. 
Однако субъективный элемент, представления вкусового характе-
ра, а также расплывчатые и неточные описания теряют смысл. По-
пытка приложения математических методов к тем или иным об-
ластям науки нередко обнаруживает неполноту материала, которым 
эта область науки располагает, и вызывает необходимость в приоб-
ретении новых эмпирических знаний.
Математические методы могут прилагаться к материалу других 
областей науки очень по-разному. В качестве первого подхода от-
метим подход математической статистики, который позволяет ра-
циональным образом обобщать эмпирические факты, оценивать 
необходимый объём эмпирических работ для получения достаточ-
но надёжных результатов, а также сопоставлять между собой ста-
тистические данные разного происхождения с целью суждения об 
одинаковости или неодинаковости материала, относящегося к не-
скольким различным статистическим выборкам. Каждая статисти-
ческая обработка требует формулировки некоторого комплекса 
статистических гипотез, причем, с одной стороны, гипотез, кото-
рые в рамках данной работы принимаются безоговорочно, а с дру-
гой,
–
гипотез, которые в рамках данной работы подлежат проверке. 
На основе такой формулировки задачи должна быть поставлена 
математическая задача. Методы статистической обработки должны 
выбираться в строгом соответствии с этой математической задачей. 
Недооценка этого подхода нередко приводит к досадным ошибкам 
и к некорректным употреблениям математической статистики, что 
в свою очередь ведёт к разнообразным ошибкам и необоснован-
ным рекомендациям.
Второй вид математического подхода к разным вопросам со-
стоит в следующем: часто бывает, что одна область науки исполь-
зует устоявшийся материал, разработанный другой областью науки. 
Например, в различных технических науках широко пользуются 
механикой или электротехникой. В различных экспериментальных 
работах биологического, химического или технического характера 
используют общепринятые представления, относящиеся к области 
физики, химии и т. д. Однако нередко использование этих обще-
принятых научных представлений приводит к необходимости ре-
шения некоторых математических задач 
–
решения каких-то диф-
ференциальных уравнений, вычисления некоторых функционалов, 
изучения поведения некоторых функций и т. д. Здесь математика 

---

178
III. ИЗБРАННЫЕ СТАТЬИ А.А. ЛЯПУНОВА
выступает как аппарат, прилагаемый к модельным представлени-
ям, подготовленным другой областью науки. Роль математики со-
стоит в том, чтобы дать возможность приложить устоявшееся пред-
ставление одной области науки к частной задаче, возникающей в 
другой области науки. В таком плане математика выполняет ог-
ромное количество чрезвычайно существенных, полезных обязан-
ностей в рамках как естественных, так и технических наук.
Однако за последнее время получает распространение третий 
вид использования математики в разных областях знания. В тех 
случаях, когда нет сложившихся представлений, на которые можно 
надёжно опираться, приходится вырабатывать новые теоретичес-
кие концепции одновременно с разработкой новой эмпирической 
области. Нередко случается, что математический подход в таких 
вопросах непосредственно поджимает исследователей эмпиричес-
кого материала. Тогда приходится одновременно собирать и систе-
матизировать эмпирический материал и конструировать математи-
ческие модели, при помощи которых можно пытаться объяснить 
изучаемые явления. Здесь приходится разрабатывать систему необ-
ходимых математических понятий и выяснять те внутренние связи 
между объектами и явлениями, которые должны составлять основу 
теории. В связи с этим, большое распространение приобретает 
аксиоматический метод, который весьма удобен для того, чтобы 
фиксировать тот комплекс эмпирических сведений, которые вклю-
чаются в теоретическую схему. Именно аксиоматический метод 
позволяет в отчетливой форме зафиксировать основные классы су-
щественных объектов, а также классы существенных отношений 
между объектами, которые определяют основные интегральные 
черты изучаемого явления. Опять-таки здесь бывает необходим ме-
тод последовательных приближений. Конструируется первая мате-
матическая модель, она исследуется, выясняется характер её недо-
статочности, она дополняется. И так поступают до тех пор, пока 
не получают практически достаточно точного соответствия между 
аксиоматической моделью реальной картины и картиной, наблю-
даемой в действительности. Такой путь сейчас широко использует-
ся в технических науках, в вопросах экономики и социологии, в 
вопросах биологии и лингвистики, нередко в таких разделах, кото-
рые ещё несколько десятилетий тому назад казались недоступными 
для математического изучения.
В то же время, широкое использование математических мето-
дов в этих областях привело к очень быстрому научному прогрессу 
и к возможностям новых и очень богатых приложений. Одновре-
менно фактический материал этих наук претерпел далеко идущее 

---

179
О роли математики в современной человеческой культуре
преобразование именно в сторону получения объективных, надёж-
ных и достаточно точных исходных данных. Приведем некоторые 
примеры.
Ещё в 20-х годах итальянский математик В. Вольтерра постро-
ил простейшие математические модели борьбы за существование. 
Он разработал некоторые типы функциональных уравнений, кото-
рые описывают кинетику сообществ живых существ. В последние 
годы эта работа получила новое развитие. В частности, И.А. Поле-
таев и его сотрудники сумели описать с помощью уравнений ана-
логичного типа значительно более сложные типы ценозов (т. е. 
сообществ) и дали общие методы для математического описания 
весьма разнообразных классов биологических сообществ. В самое 
последнее время делаются попытки изучения биологических сооб-
ществ с учетом их пространственной неоднородности. Это особен-
но важно, например, при изучении водных сообществ, где распре-
деление живых существ существенным образом меняется с глуби-
ной. Для таких сообществ удается написать систему уравнений в 
первом приближении. Однако возникает необходимость сбора це-
лого ряда исходных данных, чтобы можно было воспользоваться 
этой теорией. Во всяком случае, складывается впечатление, что ес-
тественнонаучные представления и эмпирические данные, необхо-
димые для такой математической теории, получить возможно.
Совсем не так обстоит дело с разработкой более детальной тео-
рии сухопутных сообществ. Попытки описания кинетики сухопут-
ных сообществ математическими методами натолкнулись на не-
ожиданное препятствие. Оказалось, что естественнонаучные пред-
ставления о движении соков в растениях далеко не достаточно 
полны, чтобы лечь в основу при составлении таких уравнений. 
После некоторого периода дебатов между математиками и биоло-
гами, по-видимому, возникла точка зрения, что этот вопрос дол-
жен быть подвергнут детальному лабораторному изучению с тем, 
чтобы можно было выяснить, на что опираться при построении 
математической теории. Я думаю, что такого рода обстоятельство, 
как обнаружение неполноты естественнонаучных представлений 
при попытке построения математических теорий, несомненно яв-
ляется полезным вкладом математики в естественные науки.
Во многих случаях разработка математических моделей пока-
зывает значительную дисгармонию в развитии эмпирических зна-
ний. Так, например, если сопоставить морфологические работы в 
рамках биологии с работами по изучению функционирования ор-
ганизмов или органов в широком смысле (сюда входят такие об-
ласти, как физиология, учение об онтогенезе, биогеоценология, а 

---

180
III. ИЗБРАННЫЕ СТАТЬИ А.А. ЛЯПУНОВА
также теория эволюции и учение о биосфере в целом), то прихо-
дится отметить, что изучение структур привлекает к себе гораздо 
большее внимание, чем изучение функционирования этих струк-
тур. В то же время, для использования на практике существенно 
именно понимание функционирования структур. Попытки мате-
матического описания процессов, протекающих в живой природе, 
нередко разбиваются именно о недостаточную полноту структур-
но-функциональных представлений при наличии весьма детальных 
исследований самих структур.
Ещё более разительные примеры можно привести из области 
организации производства. Математические подходы к этим воп-
росам нередко показывают, что для целесообразного управления 
производством оказываются необходимы фактические данные, ко-
торыми в действительности не пользуются, а также, что многие 
потоки информации, на обеспечение которых затрачивается ог-
ромный труд, функционируют вхолостую, т. е. эти потоки не ока-
зывают влияния на принятие решений по управлению производ-
ственными процессами. Во многих случаях это является результа-
том того, что развитие реальных систем управления производством 
протекает так, что при расширении производства появляются но-
вые элементы управления. Постепенно те или другие функции пе-
реходят от одних звеньев управления к другим. Однако, как пра-
вило, однажды созданные управляющие инстанции сохраняются 
весьма долго и упраздняются только в исключительных случаях. 
В результате возникает много дублирующих друг друга инстанций 
и много каналов информации, которые не оказывают реального 
воздействия на производственный процесс. Детальное математи-
ческое моделирование управления производственным процессом 
позволило бы выяснить, какие звенья системы управления не нуж-
ны, а может быть, позволило бы прийти к более рациональной 
системе управления в целом.