100 лет со дня рождения

О РОЛИ ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫХ КОНЦЕПЦИЙ
В РАЗВИТИИ ОСНОВ МАТЕМАТИКИ.
Дескриптивная теория множеств
и теория алгоритмов. Н.Н. Лузин и П.С. Новиков*
В развитии математики можно отметить одно существенное 
обстоятельство, весьма общего характера: в целом математика раз-
вивается под давлением двух своеобразных факторов. Один из 
них 
–
это появление новых задач, которые оказываются недоступ-
ными для существующих методов, они вызывают возникновение 
новых конкретных идей и создание новых математических мето-
дов. Другой фактор заключается в том, что, по мере накопления 
новых математических методов и новых подходов к различным за-
дачам, с одной стороны обнаруживается родство некоторых из этих 
подходов между собой и возникают обобщающие концепции. 
С дру гой стороны, усиление и расширение возможностей матема-
тики настоятельно требует пересмотра её основ, её гносеологичес-
ких концепций. Оно вызывает возникновение внутри математики 
новых основополагающих точек зрения, которые обычно первона-
чально проявляются в ограниченной группе вопросов, принявших 
критический оборот, а затем постепенно распространяются по всей 
математике и нередко входят как обязательные составляющие в 
фундамент всей математики в целом.
Мы не ставим перед собой задачи рассмотрения истории всей 
математики с описанной здесь точки зрения и только приведём 
некоторые примеры.
После того переворота, который произвело в математике соз-
дание дифференциального и интегрального исчисления Ньютоном 
и Лейбницем, вплоть до начала 19-го века происходило бурное раз-
витие идей классического анализа. При этом понятия функции, не-
прерывности, сходимости использовались интуитивным образом.
Это вызвало чувство неудовлетворённости у многих математи-
ков (напомним переписку Эйлера и Даламбера о понятии произ-
вольной функции, о проблеме аналитической представимости 
* Написано в 1971 г., публикуется впервые.
–
Ред.

---

186
III. ИЗБРАННЫЕ СТАТЬИ А.А. ЛЯПУНОВА
функций и о представлении функции посредством тригонометри-
ческих рядов). Однако, вплоть до работ Коши, где были выяснены 
понятия предела и непрерывности, и до работ Римана и Лобачев-
ского, в которых было дано определение понятия функции, мате-
матический анализ покоился на чисто интуитивной основе. Каза-
лось, что представление о математической строгости, характерное 
для античной математики, было утрачено. После работ Римана и 
Коши фактически возникает период ревизии всех понятий матема-
тического анализа и проведения в математическом анализе новой 
идеологии, связанной с установлением теории существования, и 
стремлением к тому, чтобы не только давать точные определения, 
но и характеризовать границы их применимости (интеграл Римана, 
теорема о существовании решений дифференциальных уравнений). 
Очень скоро оказалось, что для «универсального» обоснования ма-
тематического анализа этих концепций недостаточно. Проявляется 
шаткость понятия действительного числа. С новой точки зрения 
воспринимается то, что ещё во время Евклида проводилось разли-
чие между теорией отношений для чисел и для отрезков, послед-
ние могут быть несоизмеримы. В результате возникает теория 
действительных чисел (Дедекинд, Вейерштрасс), за этим следует 
новый пересмотр анализа и теории аналитических функций, в ко-
тором огромную роль играет тот же Вейерштрасс. Однако вскоре и 
это оказывается недостаточным. Рассматривая представление раз-
рывных функций при помощи тригонометрических рядов, Кантор 
приходит к теоретико-множественным концепциям. Приходится 
различать счётные и несчётные множества, а по отношению к 
счётным точечным множествам 
–
приводимые и неприводимые 
множества. В связи с этим, с настоятельной необходимостью в ма-
тематический анализ вторгаются трансфинитные процессы. Кон-
цепции актуальной бесконечности становятся для математики не-
избежными. Кантор строит теорию мощности множеств и вводит 
трансфинитную индукцию. Начинается новый, очень далеко иду-
щий пересмотр оснований математики с позиции теории множеств. 
И тут происходит катастрофа 
–
в теории множеств обнаруживают-
ся противоречия, связанные с использованием понятия множества 
всех множеств, а также с установлением соответствий между сло-
весными формулировками и тем смыслом, который в них вклады-
вается (парадокс Ришара).
Невзирая на возникающие логические трудности, теоретико-
множественные концепции победно шествуют по всей математике. 
Изменяется облик теории функций действительной и комплексной 
переменной (Борель, Лебег, Бэр); новая концепция меры и инте-
грала, выяснение возможностей операции предельного перехода, 

---

187
О роли теоретико-множественных концепций в развитии основ математики
новая точка зрения на природу аналитических функций, построе-
ние функций, неизобразимых аналитически; Фреше, Рисс 
–
поня-
тия топологических и линейных пространств, изучение их отобра-
жений; Биркгоф, Монтель, Данжуа 
–
использование теоретико-
множественных представлений и трансфинитной индукции при 
изучении дифференциальных уравнений, процесса интегрирова-
ния, тригонометрических рядов и семейств аналитических и квази-
аналитических функций; Борель и другие 
–
использование теории 
множеств и теории меры в теории вероятностей. И далее,
–
возник-
новение таких областей науки как общая топология, функциональ-
ный анализ, абстрактная алгебра 
–
всё это органически связано с 
тем, что новые теоретико-множественные подходы позволяют по-
строить сильные методы, дающие возможность решать математи-
ческие задачи в очень общей постановке. И всё это происходит 
при высшей степени шаткой логической основе теории множеств.
В связи с этим в самой теории множеств возникла весьма 
своеобразная ситуация. Большие успехи теоретико-множественных 
методов и наличие логических изъянов в обосновании самой тео-
рии множеств естественным образом привели к поискам новых 
точек зрения, которые позволили бы сохранить всё положительное 
содержание теории множеств и отсечь то, что ведёт к парадоксам.
Вопрос о поиске границы, отделяющей то, что допустимо, от 
того, что недопустимо, с особенной отчётливостью проявился в 
знаменитых пяти письмах, которыми обменивались по этому пово-
ду Борель, Лебег, Бэр и Адамар. В этих письмах рассматривался 
вопрос о требовании эффективности или потенциальной осущест-
вимости математических конструкций. В центре внимания оказа-
лась аксиома произвольного выбора (аксиома Цермело). Дело в 
том, что множества, к которым она приводит, подчас совершенно 
не индивидуализированы, и вообще о множествах, которые появ-
ляются в цермелистских конструкциях, обычно очень мало можно 
сказать. По сути дела здесь описывается целый класс множеств, 
все представители которого в некотором смысле равноправны и 
мощность которого весьма велика. С помощью аксиомы Цермело 
строятся примеры неизмеримых множеств, доказывается, что вся-
кое множество может быть вполне упорядочено. Борель, Лебег, 
Бэр рассматривали эти конструкции как незаконные на том осно-
вании, что их не удается индивидуализировать. Напротив, Адамар 
в этих конструкциях не видел ничего недопустимого
1
. В то же вре-
мя, начались поиски аксиоматических подходов к теории мно-
1
Очень жаль, что эти письма до сих пор не опубликованы по-русски. 
(