Определение. Алгебра ꝣ =

ГРУППЫ
Понятие группы. Одним из частных случаев алгебр являются группы, которые играют большую роль в математике и ее приложениях.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебра ꝣ = называется группой, если ее главные операции удовлетворяют условиям (аксиомам):
(1) бинарная операция * ассоциативна, т. е. для любых элементов а, b, с из G а*(b*с) = (а*b)*с;
(2) в G имеется правый нейтральный элемент относительно операции *, т. е. такой элемент е, что а*е = а для всякого элемента а из G;
(3) для любого элемента а из G а*а'=е.
Таким образом, группа — это непустое множество с двумя операциями на нем —бинарной операцией * и унарной операцией ', причем бинарная операция ассоциативна и обладает правым нейтральным элементом, а унарная операция есть операция перехода к правому симметричному элементу относительно бинарной операции и, значит, каждый элемент группы имеет правый симметричный ему элемент относительно, бинарной операции группы *.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Группа ꝣ = называется абелевой или коммутативной, если бинарная операция группы * коммутативна, т. е. для любых а, b из G a*b = b*а. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Порядком группы ꝣ = (G, *, '> называется число элементов основного множества G группы, если G конечно. Если G — бесконечное множество, то группу ꝣ называют группой бесконечного порядка.
При изучении групп обычно используется мультипликативная или аддитивная форма записи главных операций группы. При мультипликативной записи бинарную операцию группы называют умножением и пишут а-b (или аb) вместо а * b, называя элемент а • b произведением элементов а и b. Элемент, симметричный а, обозначают и называют обратным элементу а. Нейтральный элемент относительно умножения обозначают через е, 1 или 1ꝣ и называют единичным элементом или единицей группы. При мультипликативной записи приведенное выше определение группы формулируется следующим образом.
Алгебра ꝣ = называется группой, если ее главные операции удовлетворяют условиям:
(1) бинарная операция • ассоциативна, т. е. для любых элементов а, b, c из G верно равенство aꞏ(bꞏc) = (aꞏb)ꞏc;
(2) в G имеется правая единица, т. е. такой элемент е, что аꞏе=а для всякого элемента а из G;
(3) для любого элемента а из G выполняется равенство аꞏ =e.
Понятие натуральной степени элемента а мультипликативной группы = е, = аꞏа ... а для n N\{0}.
При аддитивной записи бинарную операцию группы называют сложением и пишут а + b вместо a*b, называя элемент а + b суммой элементов а и b. Элемент, симметричный элементу а, обозначают (—а) и называют противоположным элементу а. Нейтральный элемент относительно сложения обозначают символом 0 или 0ꝣ и называют нулевым элементом или нулем группы. При аддитивной записи определение группы формулируется следующим образом.
Алгебра ꝣ = (G, +, —) называется группой, если ее главные операции удовлетворяют условиям:
(1) бинарная операция + ассоциативна, т. е. для любых элементов а, b, с из G имеем a + (b+c) = (a + b)+c;
(2) в G имеется правый нуль, т. е. такой элемент 0, что а+0 = а для всякого элемента а из G;
(3) для любого элемента а из G a + (—а) = 0.
Примеры групп. 1. Пусть Q —множество всех рациональных чисел с обычным сложением и унарной операцией —, операцией перехода от числа а к противоположному числу (—а). Алгебра Q = (Q, +, -> является группой. Она называется аддитивной группой рациональных чисел,
2. Пусть Q* —множество всех отличных от нуля рациональных чисел с обычным умножением и унарной операцией — операцией перехода от числа а к обратному числу . Алгебра Q* = (Q*, •, > является группой. Эта группа называется мультипликативной группой рациональных чисел.
3. Пусть R —множество всех действительных чисел с обычным сложением и унарной операцией —, ставящей в соответствие каждому действительному числу г противоположное число —r. Алгебра = 4. Пусть R*—-множество всех отличных от нуля действительных чисел с обьиным умножением и унарной операцией , ставящей в соответствие каждому отличному от нуля числу r обратное число . Алгебра =(R*, +, ) является группой. Эта группа называется мультипликативной группой действительных чисел.
5. Пусть G — множество всех векторов данной плоскости с обычной операцией + сложения векторов и унарной операцией —, ставящей в соответствие каждому вектору v противоположный вектор (—v). Алгебра (G,+,-) является группой. Эта группа называется аддитивной группой векторов плоскости.
6. Пусть G — множество всех вращений плоскости вокруг данной точки О. Вращение плоскости рассматривается как преобразование плоскости, т. е. инъективное отображение плоскости на себя. Два вращения на углы аир рассматриваются как совпадающие, если =2n , где n —целое число. Композиция • ꝕ двух вращений ꝕ и соответственно на углы и есть вращение на угол . Если ꝕ — вращение на угол , то —вращение на угол (— ). Алгебра является группой. Она называется группой вращений плоскости вокруг данной точки.
7. Пусть — множество, состоящее из n вращений данной плоскости на углы 2k /n, k = 0, 1, ..., n — 1, вокруг данной точки О, отображающих правильный n-угольник с центром в точке О на себя. Алгебра ( ,•, ) является группой. Она называется группой вращений правильного n-угольника.
8. Пусть G — множество всех вращений пространства вокруг точки О, отображающих данное правильное тело (тетраэдр, куб, икосаэдр, додекаэдр) с центром в точке О на себя. Алгебра является группой. Она называется группой вращений {самосовмещений) данного правильного тела.