150
III. ИЗБРАННЫЕ СТАТЬИ А.А. ЛЯПУНОВА
никакой объект не может удовлетворить данной системе аксиом.
Такие системы аксиом непосредственно
прикладной роли играть
не могут, но их выявление может представить существенный инте-
рес для изучения самих аксиоматических систем. В этой связи мы
сталкиваемся с несколькими комплексами задач.
1. Нахождение таких систем аксиом, которые плодотворно
описывают свойства некоторых объектов, представляющих реаль-
ный интерес.
2. Выявление того, какие свойства изучаемого объекта обуслов-
ливаются тем, что этот объект подчиняется данной аксиоматичес-
кой системе.
3. Изучение внутренних логических особенностей соответству-
ющей системы аксиом
–
наличие или отсутствие противоречий
между аксиомами.
4. Решение других внутренних логических задач, касающихся
аксиоматической системы.
При рассмотрении этих задач
выясняется одно принципиаль-
ное обстоятельство: тот или иной ответ на различные вопросы, ка-
сающиеся аксиоматической системы, зависят не только от самой
системы аксиом, но и от того, какие средства работы с этой систе-
мой аксиом следует считать допустимыми. Например, в ряде слу-
чаев можно сформулировать такие вопросы, ответ на которые тре-
бует бесконечного числа логических действий. В этих случаях
разрешимость или неразрешимость задачи зависит от того, можем
ли мы считать допустимым осуществление бесконечного числа ак-
тов в явной форме или нет.
Детальное
изучение родственных явлений, предпринятое К. Гё-
делем, П.С. Новиковым, П.Д. Коэном и другими, привело к со-
вершенно неожиданным результатам в теории множеств. Так, на-
пример, на этом пути в настоящее время установлено, что вопрос
о существовании бесконечной мощности, промежуточной между
счётной и континуальной, допускает положительное или отрица-
тельное решение в зависимости от некоторых специальных акси-
ом, которые добавляются к классической системе аксиом теории
множеств
2
. Другими словами, доказана независимость проблемы
континуума в абсолютном теоретико-множественном смысле. К со-
жалению, эти глубокие и интересные вопросы теории множеств
2
Отметим,
что вопрос о том, является ли противоречивой упомянутая
система аксиом классической теории множеств, не решён. С другой сторо-
ны, в предположении, что эта система непротиворечива, доказано, что
присоединение каждой из этих специальных аксиом в отдельности к сис-
теме аксиом теории множеств привести к противоречию не может.
151
О некоторых особенностях строения современного теоретического знания
но сят слишком специальный характер, чтобы их можно было изла-
гать в статье общего характера.
Детальный анализ этих явлений привёл к возникновению тео-
рии алгоритмов и конструктивной логики, которые занимают важ-
ное место среди современных логических теорий. С
появлением
электронных вычислительных машин теории логико-алгоритмичес-
кой природы приобрели также совершенно новое звучание. Если в
30-х годах математическая логика и теория алгоритмов могли слу-
жить образцом ультраабстрактных теорий, не связанных с практи-
ческими приложениями математики, то сейчас положение в корне
изменилось. Теперь программирование различных задач для их ре-
шения на электронных вычислительных машинах с теоретико-по-
знавательной точки зрения представляет собой путь включения
решаемой задачи в некоторую более широкую логическую систему,
охватывающую как саму задачу, так и процедуру её решения.
Необходимо отметить, что теоретико-множественные
аксиома-
тические теории с большим успехом обслуживали многие области
естествознания
–
различные отделы физики, химии, астрономии,
реже
–
те или иные разделы биологии и в совсем малой степени
–
общественные науки (здесь исключением является математическая
экономика). Что же касается логико-математических теорий, то
они находят всё большее и большее применение и при изучении
человеческого общества. На наших глазах логико-математические
концепции вторгаются в языкознание, они открывают возможнос-
ти использования вычислительных машин для работы с языком
(машинный перевод, речевое управление автоматами, машинные
справочно-информационные системы).
Вместе с тем они изменя-
ют облик лингвистики, выясняя на точном математическом уровне
природу грамматических понятий, как с точки зрения их собствен-
ных логических свойств, так и с точки зрения конкретных грамма-
тических формаций в реальном языке. Причем эти новые грамма-
тики оказываются общезначимыми в том смысле, что они реально
используются при разработке методов языкового взаимодействия с
машинами. Одновременно выясняются глубокие связи между ос-
новными понятиями грамматики и концепциями теории алгорит-
мов и теории автоматов.
Do'stlaringiz bilan baham: 
