100 лет со дня рождения

Раздел III
Избранные статьи А.А. Ляпунова
о науке, образовании, искусстве
Избранные статьи А.А. Ляпунова
о науке, образовании, искусстве

---

.

---

145
О некоторых особенностях строения современного теоретического знания
О НЕКОТОРЫХ ОСОБЕННОСТЯХ СТРОЕНИЯ
СОВРЕМЕННОГО ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ЗНАНИЯ*
Хотя вопросы методологии науки не являются специальнос-
тью автора, ему, проработавшему долгое время в научных учрежде-
ниях, естественно, приходилось неоднократно обдумывать или об-
суждать такого рода вопросы. В настоящей статье изложены 
некоторые соображения, возникшие при этом у автора. Следует 
отметить, что большое влияние на всё, что здесь высказывается, 
оказали многолетние беседы автора с Н.Н. Лузиным и П.С. Нови-
ковым. 
1. Выделение основных типов научных теорий 
Постараемся выделить основные типы научных теорий с точки 
зрения той роли, которую они играют в системе человеческих зна-
ний, при этом мы будем иметь в виду главным образом естествен-
нонаучные и логико-математические теории. 
Прежде всего, следует указать на теории или теоретические 
представления, являющиеся обобщением эмпирического материа-
ла. Сюда относятся такие теории, как, например, эволюционная 
теория Дарвина, хромосомная теория наследственности, теория 
Павлова, геохимия, учение о биосфере Вернадского и т. д. 
В этих теориях рассматриваются фактические данные, уста-
навливаются черты их сходства и различия. Эти данные сопостав-
ляются между собой и с результатами, добытыми в смежных об-
ластях наук. Затем, исходя из общей совокупности имеющихся в 
данное время научных сведений, строится то или иное объяснение 
изучаемых явлений. Нередко предсказываются новые, ещё не наб-
людавшиеся явления, которые в дальнейшем используются для 
проверки теоретических представлений. Наконец, выделяются та-
кие явления, которые не укладываются в рамки развиваемой тео-
рии. Эти явления нередко подвергаются специальному, более де-
тальному изучению. 
* В основу статьи положен доклад, представленный автором Симпо-
зиуму по методологии науки, который был созван в марте 1963 г. в Ново-
сибирске по инициативе Совета молодых учёных.
–
Ред.

---

146
III. ИЗБРАННЫЕ СТАТЬИ А.А. ЛЯПУНОВА
Теории, обобщающие эмпирический материал, представляют 
собой по сути дела основной стержень естествознания. (В частнос-
ти, на их базе строится современное естественнонаучное образова-
ние.) Сообразуясь с этими теориями, планируются дальнейшие 
исследования в области естествознания. Обнаружение комплексов 
явлений, не укладывающихся в эти теории, всегда рассматривается 
как крупное научное событие. 
В то же время рамки этих «эмпирических», содержательных (в 
смысле 
–
не формализованных) естественнонаучных теорий никог-
да чётко не очерчены. Соображения, вытекающие из этих теорий, 
применяются к анализу непосредственно получаемых эмпиричес-
ких данных. Однако никогда нельзя с точностью установить грани-
цы применимости этих соображений. Система основных понятий 
в теориях такого рода дана описательно и обычно плохо укладыва-
ется в рамки строгих логических рассуждений. Далеко не всегда 
ясно, какие стороны действительности учтены в них полностью и 
от каких сторон абстрагировались. 
Из этого следует, что возможны такие случаи, когда анализ 
реальных явлений с позиций некоторой «эмпирической» теории 
оказывается затруднительным. Иной раз недостаточная отчётли-
вость теории не позволяет сделать однозначные предсказания, раз-
личные же понимания теории приводят к разногласиям при её 
практических применениях. 
При проверке теории большое значение имеет сокращение тру-
доёмкости необходимых экспериментальных работ. Для этого тре-
буется применение точных количественных методов при обработке 
наблюдений и количественная оценка надёжности полученных ре-
зультатов. В большинстве случаев это связано с необходимостью 
использования статистических методов. Однако нередко «эмпири-
ческих» теорий недостаточно для постановки точных количествен-
ных задач. Всё это говорит о том, что современное естествознание 
не может ограничиться одними «эмпирическими» теориями. Ввиду 
этого возникает необходимость в создании математических моде-
лей естественнонаучных явлений, изучаемых той или иной теори-
ей, т. е. в построении некоторых абстрактных объектов, связи и от-
ношения между которыми описаны в точных математических тер-
минах и которые соответствуют представлениям, лежащим в основе 
моделируемых естественнонаучных теорий. В рамках таких моде-
лей возможна постановка точных количественных задач. Получение 
решения этих задач с использованием необходимых математичес-
ких методов и сопоставление полученных результатов с действи-
тельностью на первых порах служат для апробации моделей. В даль-

---

147
О некоторых особенностях строения современного теоретического знания
нейшем, когда признана доброкачественность моделей, они служат 
для объяснения наблюдаемых явлений, а также для выбора рацио-
нального способа действий. 
Следует отметить, что роль изучения модельных объектов 
чрезвычайно велика. По отношению к задачам физики и механики 
таковыми служат объекты, изучаемые теоретической механикой и 
математической физикой. Они находят здесь широкое применение. 
Нередко в своих рассуждениях исследователь пользуется результа-
тами, добытыми теоретической механикой или математической 
физикой, даже не отдавая себе отчёта в том, что он оперирует мо-
дельными объектами, настолько отождествление реальной дейст-
вительности с моделью вошло в плоть и кровь работников этих 
областей науки. В биологии и геологии, к сожалению, математи-
ческое моделирование теоретических концепций далеко ещё не 
получило достаточного развития. 
Необходимость использования математических моделей в рам-
ках естественнонаучных теорий порождает следующий рубеж тео-
ретических исследований. Математические модели ряда различных 
явлений оказываются сходными. Это служит косвенным отраже-
нием факта единства материального мира. В самых различных ма-
тематических моделях действительности проявляются одни и те же 
отношения между элементами. Так, например, при рассмотрении 
сходства и различия цветов и расположения точек в пространстве 
обнаруживается полный изоморфизм 
–
пространство цветов ока-
зывается изоморфным евклидову пространству в геометрии. Не-
сколько другой тип сходства наблюдается между такими моделями, 
как совокупность движений евклидова пространства и совокуп-
ность взаимно однозначных подстановок из
п
элементов. В дан-
ном случае изоморфизм отсутствует. Однако определяющие связи 
внутри обеих систем описываются одинаково. И там и здесь мы 
имеем дело с группами. Дело в том, что может существовать много 
различных неизоморфных между собою групп, тогда как все трёх-
мерные евклидовы пространства изоморфны между собой
1
. 
В этой связи возникают математические теории аксиоматичес-
кой природы. 
Рассматривается некоторое множество элементов, характери-
зуемых наличием некоторых отношений 
–
структуры связей между 
этими элементами. Точным образом описываются все эти связи и 
1
Для того, чтобы придать всем этим соображениям строгий смысл, 
нужно, конечно, уточнить общепринятым способом содержание использу-
емого в данном случае понятия «изоморфизм», однако рамки настоящей 
статьи не позволяют нам сделать это.

---

148
III. ИЗБРАННЫЕ СТАТЬИ А.А. ЛЯПУНОВА
взаимоотношения между ними, т. е. дается перечень аксиом, опи-
сывающих изучаемый объект. Далее изучается набор следствий из 
этих аксиом. Таково содержание аксиоматической теории, описы-
вающей некоторый класс объектов. Общей математической осно-
вой всех таких теорий является классическая канторовская теория 
множеств. 
В настоящее время классический аксиоматический метод в на-
уке, базирующийся на теории множеств, получил всеобщее призна-
ние как внутри математики, так и далеко за её пределами. В част-
ности, в той или иной форме он является основой многочисленных 
практических приложений математики. При рассмотрении аксио-
матических теорий необходимо различать два случая: 1) когда сис-
тема аксиом описывает фактически один-единственный объект с 
точностью до изоморфизма; 2) когда система аксиом может опи-
сывать много различных объектов, неизоморфных между собой. 
В процессе работы с достаточно сложными аксиоматическими 
системами приходится использовать бесконечные множества объ-
ектов; при этом оказывается существенным вопрос о том, какие 
логические принципы являются допустимыми в этом случае, когда 
мы оперируем с такого рода объектами. 
Мы приходим к формированию следующего рубежа теоретичес-
ких исследований. Сюда относятся научные теории логико-мате-
матического характера, которые служат для рассмотрения не столь-
ко конкретных объектов научного исследования, сколько самой 
процедуры исследования. Эти теории опираются на такие области 
науки, как математическая логика, теория алгоритмов, теория мо-
делей, некоторые разделы теории автоматов, а также некоторые но-
вейшие направления в математической лингвистике. По сути дела 
здесь изучается связь между процедурой изучения некоторого на-
учного объекта и особенностями его строения. 
В теориях этого типа накладываются жесткие ограничения на 
те операции, которые можно производить над изучаемым объектом. 
Например, в таких теориях оказывается невозможным опираться 
на канторовскую теорию множеств, которая в этих рамках получа-
ет наименование «наивной теории множеств». Приходится так или 
иначе ограничивать или вообще запрещать употребление принципа 
исключённого третьего применительно к бесконечным множест вам 
объектов. Попытки полностью исключить в этих теориях обращение 
с бесконечными множествами объектов оказались безуспешными, 
однако пришлось строго разграничить различные
процедуры над 
бес конечными объектами. Одни из них являются потенциально 
осу ществимыми в том смысле, что имеется регулярно развертываю-
щийся процесс, связанный с последовательным переходом от одно-

---

149
О некоторых особенностях строения современного теоретического знания
го натурального числа к следующему, причём на каждом шаге это-
го процесса достигается всё лучшее приближение к окончательному 
результату. В процедурах другого типа в процессе их осуществления 
нет последовательного приближения к результату, и только по окон-
чании процедуры может быть получен ответ «да» или «нет». Проце-
дуры первого типа являются рекурсивно осуществимыми, процеду-
ры второго типа носят общий теоретико-множественный характер. 
Таким образом, мы пришли к необходимости выделения четы-
рёх типов научных теорий: 1) описательные естественнонаучные 
теории; 2) их математические модели; 3) аксиоматические теории 
теоретико-множественного уровня; 4) логико-математические тео-
рии, в которых описываются одновременно некоторый научный 
объект и процедура его изучения.