10-маъруза. Мавзу: Турғунлик тушунчалари ва аниқлаш усуллари

а₁ а₃
₂= =а₁ а₂- а₀ а₃0
а₀ а₂
₃=а₃ ₂0.
Шундай қилиб, учинчи тартибли тенглама билан ифодаланган системаларнинг турғун бўлиши учун характеристик тенглама коэффициентларининг мусбат бўлиши етарли бўлмай, бунда (а₁ а₂- а₀ а₃)0 тенгсизликнинг бажарилиши зарур шарт ҳисобланади.
г) n=4, а₀р⁴+ а₁р³+ а₂ р²+ а₃ р+ а₄=0
Турғунлик шартлари:
а₀0;₁=а₁ 0


а₁ а₃
₂= а₀ а₂ =а₁ а₂- а₀ а₃0


а₁ а₃ 0
₃= а₀ а₂ а₄ =а₁ а₂ а₃ +0+0+0- а₀ а₃-а₁²а₄=а₃(а₁а₂-а₀а₃)-а₁²а₄0
0 а₁ а₃
₄=а₄ ₃ 0
Тўртинчи тартибли тенглама билан ифодаланган системалар турғун бўлиши учун характеристик тенглама коеффициентларининг мусбат бўлишидан ташқари яна икки
( а₁а₂-а₀а₃ ) 0
а₃( а₁а₂-а₀а₃) –а²а₄0 шарт бажарилиши керак.
Характеристик тенгламанинг даражаси ”п” борган сари юқоридаги каби бажарилишикерак бўлган шартлар ҳам кўпая боради. Шунинг учун турғунликнинг Гурвиц мезонини п<4 бўлган системалар учун қўллаш мақсадга мувофиқ бўлади.
3.Турғун Михайлов мезони.
Михайловнинг турғунлик мезони ўзининг моҳияти жиҳатидан аргументлар принципининг геометрик тасвиридир.
D (р)=а₀р_п+а₁р_п-1+…..+а_п=0 (10)
Характеристик тенглама берилган бўлсин.
Бунда D(Р) полиномни характеристик полином деб аталади. Система турғун бўлиши учун характеристик тенгламанинг ҳамма илдизлари комплекс текислигининг чап ярим текислигида жойлашиши, яъни ўнг илдизлар сони 1=0 бўлиши керак. У ҳолда аргументлар принципига мувофиқ
∆argD(jω)= nπ/2 ёки ∆argD(jω)= nπ шарт бажарилиши керак.
0<< 0<<
Частота -<ω< ўзгарганда (jщ) векторнинг комплекс текислигидаги геометрик ўрнига Михайлов гедографи дейилади.
D(jω)=a₀(jω)ⁿ+a₁(jω)^n-1 +…….+aⁿ= U(ω) + JV(щ)
U(ω)=(a_n-a_n-2ω²+a_n-4ω⁴…) ҳақиқий қисм бўлиб, у частотага нисбатан жуфт функциядир.
U(ω)=U(-ω)
Мавҳум қисми эса частотага нисбатан тоқ функция бўлади.
V(ω)=w(a_n-1+a_n-3w²-a_n-3w⁴+…)
V(-ω)=-V(ω)
Шундай қилиб D(-jω) =U(ω)-JV(ω) бўлади.
Михайлов мезонининг таърифи:
Агар частота 0<< ўзгарганда Михайлов гедографи ҳақикий мусбат ўқдан бошланиб, координата боши атрофида мусбат (соат стрелкасига қарши) йўналишда п^п/2 бурчакка бурилса, у ҳолда система турғун бўлади. Бунда “п” характеристик тенгламанинг даражасидир.
Қуйида Михайлов гедографининг кўринишларини келтирамиз. (3-расм)
3-расмда система турғунлик шартлари учун Михайлов гедографларининг кўринишлари келтирилган.

Михайлов годографа таҳлил қилинганда, ундан қуйидаги натижа келиб чиқади. Михайлов годографи координата текислигида квадратларни кетма-кет кесиб ўтганда, у ҳақиқий ва мавҳум ўқларни бирин-кетин кесиб ўтади.

Михайлов годографи ҳақиқий ўқни кесиб ўтганда, унинг мавҳум функцияси нолга айланади, мавҳум ўқни кесиб ўтганда эса Михайловнинг ҳақиқий функцияси нолга айланади. Шунинг учун годографнинг ҳақиқий ва мавҳум ўқларни кесиб ўтган нуқталаридаги частотанинг қиймати U(w)=0 (a), V(w)=0 (б) тенгламаларининг илдизлари бўлиши керак. 4-расмда бу функцияларнинг графиги келтирилган.

4-расм.

Бу эгри чизиқларнинг абцисса ўқи билан кесишган нуқталари (а) ва (б) тенгламаларнинг илдизларини билдиради.
Агар w0, w2, w4…тенгламанинг илдизлари w1, w3, w5….эса (а) тенгламанинг илдизлари бўлиб, шу билан бирга w0< w2< w4 ва
w1< w3< w5 бўлса, у система турғун бўлиши учун
w0< w1< w2 тенгсизлик бажарилиши керак.