10-маъруза. Мавзу: Турғунлик тушунчалари ва аниқлаш усуллари

4. Турғунликнинг Найквист мезони.
Турғунликнинг айквист мезони очиқ системанинг амплитуда фаза характеристикаси (АФХ) бўйича берк системанинг турғунлигини текшириш имконини беради. Очиқ системанинг АФХ сини эса аналитик, ҳам экспериментал йўл билан олиш мумкин.
Турғунликнинг бу мезони аниқ равшан физик маънога эга, яъни бу мезон очиқ системанинг стационар хусусиятлари билан боғлайди.
Очиқ системанинг узатиш функцияси берилган бўлсин. Бу ерда, Q(P)=0 – очиқ системанинг характеристик тенгламаси. Берк системанинг узатиш функцияси:

(11)
Берк системанинг характеристик тенгламаси:
Q(P)+P(P) – берк системанинг характеристик полиномини ифодалайди.
Q(P) – полиноми “n” даражага эга
P(P) – полиноми “m” даражага эга.
Системани ишга тушириш учун доимо mбўлиши керак. Шунинг учун Q(P)+P(P) полиноми ҳам “n” даражага эга бўлади. Очиқ системанинг ўзи турғун ва нотурғун ҳолатда бўлиши мумкин. Биз мана шу икки ҳолатда берк системанинг турғунлигини текшириб кўрамиз.
Очиқ система турғун ҳолатда
Характеристик тенгламанинг ўнг илдизлар сони 1=0 Михайлов мезонига мувофиқ очиқ система характеристик тенгламаси аргументининг ўзгариши.

Энди берк система турғун бўлишини талаб этамиз. Унда қуйидаг тенглик бажарилиши лозим.
(12)
(11) ифодага мувофиқ берк система характеристик тенгламасининг аргумент ўзгариши:
(13)
Шундай қилиб, берк система турғун бўлиши учун частота 0 ўзгарганда А(jω) векторнингкоордината ўқи атрофидаги бурчак бурилиши (аргумент ўзгариши) нолга тенг бўлиши керак ёки частота 0<ω<∞ ўзгарганда берк система АФХ координата бошини, яъни (0;0) нуқтани ўз ичига олмаслиги керак.
А(jω)=1+W(jω) годогрфининг кўриниши 5 – расмда кўрсатилган.

5 – расм
I – система турғун

II – система нотурғун

Лекин берк системанинг АФХ А(jω)=1+W(jω) очиқ системанинг АФХ W(jω) дан “+1” гагина фарқ қилади.

Шунинг учун юқорида келтирилган Найквист мезонининг таърифини очиқ системанинг АФХ W(jω) га тадбиқ этганимизда Нейквист мезонини қуйидагича таърифлаш мумкин.

Берк система турғун бўлиши учун очиқ системанинг АФХ W(jω) частота 0<ω<∞ ўзгарганда (1-:j0) критик нуқтани ўз ичига олмаслиги керак.

6 – расм

I – берк система турғун

II – берк система нотурғун

Очиқ система нотурғун

Бунда очиқ система характеристик тенгламаси “I” ўнг илдизга эга, яъни L≠0, унда аргументлар принципига мувофиқ
(14)
бўлади.
Агар системанинг турғун бўлишини талаб этсак, унда қуйидаги шарт бажарилиши керак:
(15)
у ҳолда А(jω)=1+W(jω) векторининг аргумент ўзгариши
(16)
бўлади. Яъни А(jω) векторининг координата ўқининг боши атрофидаги суммар бурчак бурилиши турғун берк система учун “I” га тенг бўлиши лозим.
Бундан Найквист мезонининг қуйидаги таърифи келиб чиқади.
Берк система турғун бўлиши учун частота 0<ω<∞ ўзгарганда очиқ системанинг АФХ W(jω) критик нуқта (1-:j0) ни 1/2 марта ўз ичига олиши керак. Бунда 1 – очиқ система характеристик тенгламасининг ўнг илдизлар сони.
7 – расм
W(jω) годография (-1:j0) нуқтани бир марта ўз ичига оляпти. Шунинг учун бунда очиқ системанинг ўнг илдизлар сони 1=2, чунки 1/2=1= = >1=2. Демак, очиқ система ўнг илдизлар сони 1=2 бўлганда берк система турғун бўлади. 1=2 бўлса, берк система ҳам нотурғун бўлади.
Амалий масалаларни ечишда Я.З.Ципкин таклиф этган “ўтиш қоидасини” қўллаш мақсадга мовцфиқдир.
W(jω) характеристикани ўтиш деганда шу характеристиканинг комплекс текислигида манфий ҳақиқий ўқни (-1:j0) нуқтанинг чап томонида, [-∞;-1] кесмада кесиб ўтиши назарда тутилади.
Агар W(jω) характеристикаси критик нуқта (-1:j0) нинг чап томони, яъни [-∞;-1] кесмани частота 0<ω<∞ ўзгарганда пастдан юқорига кесиб ўтса, мусбат ўтиш, юқоридан пастга кесиб ўтса, манфий ўтиш дейилади. (8 – расм)
Im






[∞; -1]



-

ω=∞ ω=0

Re

+



j0

+

-

8 – расм
Юқорида айтилганларни эътиборга олган ҳолда Найквист мезонини қуйидагича таърифлаш мумкин.

Берк система турғун бўлиши учун очиқ система АФХ W(jω) нинг частота 0<ω<∞ ўзгарганда [-∞;-1] кесма орқали мусбат ва манфий ўтишларнинг айирмаси I₁₂ га тенг бўлиши керак. Бунда 1 – очиқ система характеристик тенгламасининг ўнг илдизлар сони.
агар W(jω) характеристикаси ω=0 бўлганда [-∞;-1] кесмада бошланса, ёки ω=∞ бўлганда шу кесмада тугаса унда W(jω) характеристиканинг бу кесмадан ўтишини ярим ўтиш дейилади.

Статик очиқ системаларнинг W(jω) характеристикалари частота ўзгарганда ёпиқ контур ҳосил қилади.

Идеал интеграллагич звеноси бўлган статик очиқ системаларнинг W(jω) характеристикалари частота 0<ω<∞ ўзгарганда ёпиқ контур ҳосил қилмайди.
Астатик системалар учун Найквист мезонини қўллаш.
астатик системани АФХ
(17)
кўринишга эга бўлиб, ёпиқ контур ҳосил қилинмайди.
Бундай системалар учун очиқ системанинг характеристик тенгламаси ноль илдизга эга бўлиб, қуйидга кўринишда ёзиш мумкин:
(18)
Бунда - астатизм даражаси, яъни системадаги идеал интеграллагич звенолар сони.