10-маъруза. Мавзу: Турғунлик тушунчалари ва аниқлаш усуллари

10-маъруза.
Мавзу: Турғунлик тушунчалари ва аниқлаш усуллари.

Режа:

1.Турғунлик тушунчаси.
2.Турғунликнинг Гурвиц мезони.
3.Турғунликнинг Михайлов мезони.
4.Турғунликнинг Найквист мезони.

Адабиётлар:

1.Юсупбеков Н.Р. ва бошқалар. “Технологик жараёнларни бошқариш системалари”,-Тошкент, 1997 й.
2.Юсупбеков Н.Р. ва бошкалар. “Автоматика ва ишлаб чиқариш жараёнларини автоматлаштириш.”,-Тошкент, 1982 й.
3. Мансуров Х.Н. “Автоматика ва ишлаб чиқариш жараёнларини автоматлаштириш”,-Тошкент 1987 й.
4.Майзель М.М “Основы автоматики и автоматизации производственных процессов”, - Тошкент, 1964й
5.Тузувчи Ф.С.Мирзахўжаева. «Автоматик бошқариш назарияси курсини ўрганиш бўйича методик қўлланма:Асосий тушунчалар ва таърифлар.»
Тошкент,1990 й., 15-30-бетлар.
1. Турғунлик тушунчаси.
АБСларнинг ишлаш қобилиятига қўйилган талаб, уларнинг турли хил ташқи қўзғатувчи таъсирига носезгир бўлишига мўлжалланган бўлишидир. Агар система турғун бўлса, унда у ташқи қўзғатувчи таъсирларга бардош бера олади ва ўзининг мувозанат ҳолатидан чиқарилганда яна маълум аниклашда шу ҳолатига қайтиб келади. Агар система нотурғун бўлса, унда у ташқи қўзғатувчи таъсир натижасида мувозанат ҳолати атрофида жуда катта тебранишлар ҳосил қилади ёки мувозанат ҳолатидан чексиз узоқлашади.
Агар ҳар қандай чекланган кириш катталикнинг абсолют қийматида чиқиш катталиги ҳам чекланган қийматга эга бўлса, бундай система турғун истсема деб юритилади. (1-расм)


y(t)

х(t)





t

t



1 – расм

Кириш катталиги “Х” ва чиқиш катталиги ”У” бўлган системани кўриб чиқамиз. (2-расм)

Системанинг ҳаракат тенгламасини умумий кўринишида қўйидагича ёзиш мумкин.

a₀(dⁿY/dtⁿ)+a₁(d^n-1/dt^n-1)+…+a_ny(t)=b₀(d^mx/dt^m)+b₁(d^m-1x/dt^m-1)+…+b_mx(t) (1) Системанинг турғун ёки нотурғунлигини кўриш учун (1) тенгламанинг ечимини аниқлаш керак.
Y(t)= Y_э(t)+ Y_m(t)…… (2)
Бунда Y_m(t)-(1) тенгламанинг хусусий ечими бўлиб, у (1) тенгламанинг мувозанат режими учун ечим бўлади.
Y_э(t)-бу (1) тенгламанинг ўнг томони нолга тенг бўлганлиги учун умумий ечим бўлиб, у тенгламанинг ўткинчи режимини ифодалайди.
t бўлганда Y_э(t)0 (3)
бўлиши системанинг турғунлигини ифодалайди. Агар (3) шарт бажарилса, унда система турғун бўлади.(1) тенгламанинг ўтиш (ўткинчи) ташкил этувчиси Y_э(t).
a₀dⁿY/dtⁿ+a₁d^n-1/dt^n-1+…+a_ny(t)=0 (4)
Тенгламани ечимини ифодалайди.
Бу тенгламадан кўриниб турибдики,унинг ечими (1) тенгламанинг ўнг томонидаги В₁ коэффициентга ва Х(t) функциянинг ўзгариш характерига боғлиқ эмас экан. (3) шартга кўра, системанинг турғунлиги ёки нотурғунлиги коэффициентлар В₁ ва кириш катталиги Х(t) функцияга боғлиқ эмас экан.
Демак, системанинг турғунлиги унинг ички хусусияти бўлиб, унга таъсир этувчи кучларга боғлиқ эмас.
(4) тенгламанинг ечимини аниқлаш учун характеристик тенгламани оламиз:
a₀Pⁿ+a₁P^n-1+…+a_n=0 (5)
бунда P₁, P₂,… P_n –(5) тенгламанинг илдизлари бўлиб,улар ҳар хил бўлсин,унда (4) тенгламанинг ечимини қуйидаги кўринишда кўрсатиш мумкин:
Y_э(t)= C₁ e^Pt (6)
С₁-системага қўйилган бошланғич шартлар бўйича аниқланган ихтиёрий ўзгармас сон.
Шундай қилиб, чизиқли системанинг турғунлигини характеристик тенгламанинг илдизлари аниқлар экан.
Илдизлар эса ҳақиқий, комплекс ва мавҳум бўлиши мумкин.
Чизиқли система узатиш функцияси W(P) нинг ҳамма қутблари ҳақиқий қисмнинг манфий ишорага эга бўлиши унинг турғун бўлишининг зарур ва етарли шарти ҳисобланади.
Узатиш функциясининг махражидаги полином илдизларини узатиш функциясининг қутблари, суратидаги полином илдизлари узатиш функциясининг ноллари дейилади.
W(P)=P(P)/Q(P) (7)
Очиқ система узатиш функциясининг характеристик тенгламаси Q(P)=0 нинг илдизлари ҳақиқий қисмининг манфий бўлиши очиқ системанинг турғун бўлишининг етарли ва зарур шартидир.
Берк система учун
Ф(P)=W(P)/J+W(P)=(P(P)/Q(P))/J+P(P)/Q(P)=P(P)/Q(P)+P(P)=B(P)/A(P) (8)
A(P)=1+W(P)=0- берк системанинг характеристик тенгламаси.
Берк система характеристик тенгламаси A(P)=0 илдизлари ҳақиқий қисмининг манфий бўлиши унинг турғун бўлишининг етарли ва зарур шартидир.
Турғунликнинг бу шартлари А.М.Ляпунов томонидан ночизиқли системаларининг чизиқлантирилган тенгламалари учун исботланди ва қўлланди. Қуйида биз бу теоремаларни исботсиз келтирамиз.
1-теорема: Агар чизиқлантирилган система характеристик тенгламаси ҳамма илдизларининг ҳақиқий қисми манфий бўлса, унда реал система ҳам турғун бўлади,яъни жуда кичик ночизиқли ҳадлари системанинг турғунлик ҳолатига таъсир кўрсата олмайди.
2-теорема: Агар чизиқлантирилган система характеристик тенгламасининг бирорта илдизи мусбат ҳақиқий қисмга эга бўлса, унда реал система нотурғун бўлади, яъни жуда кичик ночизиқли ҳадлари системани турғун қила олмайди.
3-теорема: Агар чизиқлантирилган система характеристик тенгламасининг илдизлари мавҳум ёки нолга тенг бўлса, унда реал система турғунлик чегараси бўлади. Яъни бунда жуда кичик ночизиқлар ҳадлар ўткинчи жараён кўринишини тубдан ўзгартириб юбориши, ҳамда реал системани турғун ёки нотурғун ҳолатга келтириш мумкин.
Шундай қилиб, система турғунлигини тадқиқ этиш унинг характеристик тенгламаси илдизларининг ишорасини аниқлашдан, яъни характеристик тенглама илдизларини комплекс текислигида мавҳум ўққа нисбатан қандай жойлашганлигини аниқлашдан иборат.

Комплекс текисликда характеристик тенглама илдизларининг мавҳум ўққа нисбатан жойлашганлигини аниқлайдиган қоидаларга турғунлик мезонлари дейилади.
Системанинг турғунлик масалаларини ечишда қуйидаги турғунлик мезонларидан фойдаланилади:
1.Турғунликнинг алгебраик мезонлари:
а) Гаусс мезони.
б) Гурвиц мезони.
2.Турғунликнинг частотавий мезонлари:
а) Михайлов мезони
б) Найквист мезони
3.Турғунликнинг логарифмик мезони:
а) Д-бўлиниш усули.