10-маъруза. Мавзу: Турғунлик тушунчалари ва аниқлаш усуллари

2.Турғунликнинг Гурвиц мезони.
АБС нинг характеристик тенгламаси берилган бўлсин:
А(Р) =a₀Pⁿ+a₁P^n-1+…+a_n=0 (9)
Шу характеристик тенглама коэффициентларидан тузилган жадвалга Гурвиц аниқловчиси (детерминанти) дейилади.
Гурвиц аниқловчисини тузишда қуйидаги қоидага риоя қилиш керак:
а) бош диоганал бўйича ҳамма коэффициентларни “а₁” дан то “а_н” гача ўсиш тартиби билан ёзиб чиқилади.
б) бош диоганалга нисбатан қаторларнинг пастга томон индекслари камаювчи, юқорига томон индекслари ўсиб борувчи коэффициентлар билан тўлдирилади.
в) индекслари нолдан кичик ҳамда “n” дан катта бўлган коэффициентлар ўрнига ноллар ёзилади.
г) Гурвиц аниқловчисининг энг юқори тартиби характеристик тенгламанинг даражасига тенг бўлади.
д) Гурвиц аниқловчисининг охирги тартиби ₀=а₀_н га тенгдир.


а₁ а₃ а₅ а₇ 0
а₀ а₂ а₄ а₆ 0
_n = 0 а₁ а₃ а₅ 0
0 а₀ а₂ а₄ 0
……………..
0 0 0 0 а_н

Гурвиц мезони таърифи:

Агар а₀0 бўлиб,Гурвицнинг ҳамма аниқловчилари нолдан катта бўлса, у ҳолда система турғун бўлади, яъни а₀0 бўлганда ₁ 0; ₂ 0; ₃ 0;….._н0 бўлиши керак.
_н=а_н _н-1 бўлиши Гурвиц аниқловчисининг тузилиш структурасидан келиб чиқади. Шунга кўра, агар _н=а_н _н-1=0 бўлса, система турғунлик чегарасида бўлади. Бу тенглик икки ҳолда, яъни а_н=0 бўлганда ёки _н-1=0 бўлганда бажарилиши мумкин. Агар а_н=0 бўлса, унда текширилаётган система турғунлик ҳолатининг апериодик чегарасида бўлади(яъни характеристик тенгламанинг битта илдизи нолга тенг бўлади).
Агар _н-1=0 бўлса, унда текширилаётган система турғунлик ҳолатининг тебранма чегарасида бўлади (бунда характеристик тенглама жуфт мавхум илдизга эга бўлади).
Энди n=1,2,3,4 га тенг бўлган тенгламалар билан ифодаланган системалар учун Гурвиц турғунлик мезонининг шартларини кўриб чиқамиз:
а) n=1, а₀Р+а₁=0.
Бунда а₀0; ₁=а₁0 турғунлик шарти бўлади. Демак, биринчи тартибли системалар турғун бўлиши учун характеристик тенглама коэффициентларининг мусбат бўлиши етарлидир.
б) n=2, а₀Р²+а₁Р+а₂=0
бунда турғунлик шартлари қуйидагича бўлади.
а₀0;₁=а₁ 0
а₁ 0
₂= =а₁ а₂- а₀ 0=а₁ а₂0
а₀ а₂
Демак, иккинчи тартибли тенглама билан ифодаланган системаларнинг ҳам турғун бўлиши учун характеристик тенглама коэффициентларининг мусбат бўлиши етарли шарт ҳисобланади.
в) n=3, а₀Р³+а₁Р²+а₂Р+а₃=0
Турғунликнинг зарур шартлари:
а₀0;₁=а₁ 0