10. Funksional qator yig‘indisining uzluksizligi

3⁰. Funksional qatorlarni hadlab differenstiallash. Faraz qilaylik, segmentda

(6)

funksional qator berilgan bo’lsin.

3-teorema. Aytaylik, (6) funksional qator quyidagi shartlarni bajarsin:

1) qatorning har bir hadi segmentda uzluksiz hosilaga ega,

2) Ushbu

funksional qator da tekis yaqinlashuvchi,

3) nuqta mavjudki,

qator yaqinlashuvchi. U holda

a) funksional qator da tekis yaqinlashuvchi,

b) bu qatorning yig’ndisi

da uzluksiz hosilaga ega,

v)

bo’ladi.

◄ Ushbu

qatorning yig’ndisini bilan belgilaylik:

. (7)

Bu qator tekis yaqinlashuvchi va har bir hadi da uzluksiz. Yuqorida keltirilgan 2 – teoremaga ko’ra (7) ni hadlab integrallash mumkin:

,

bunda . Ayni paytda,

funksional qator da tekis yaqinlashuvchi.

Ravshanki,

.

Demak, qator tekis yaqinlashuvchi.

Shartga ko’ra

qator yaqinlashuvchi (uni da tekis yaqinlashuvchi deb qarash mumkin).

Shunday qilib

,

qatorlar da tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. Bundan esa bu qatorlarning yig’ndisi bo’lgan

funksional qatorning da tekis yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi. Shuni e’tiborga olib topamiz:

.

funkstiya, har bir hadi uzluksiz, o’zi tekis yaqinlashuvchi

qatorning yig’ndisi bo’lgani uchun 1-teoremaga ko’ra, da uzluksiz bo’ladi.

Unda keyingi tenglikdan

bo’lishi kelib chiqadi.

Demak,

qator yig’ndisi uzluksiz hosilaga ega va

bo’ladi.►

Bu keltirilgan teoremaning shartlari bajarilganda uning tasdiqini quyidagicha yozish mumkin:

.

1-misol. Ushbu

funksional qatorning yig’ndisi topilsin.

◄ Ma’lumki,

funksional qator da tekis yaqinlashuvchi bo’lib, uning yig’ndisi

ga teng (qaralsin, 66-ma’ruza):

.

Ravshanki, bu qatorning har bir hadi da uzluksiz. Demak, uni 2 – teoremaga ko’ra hadlab integrallash mumkin:

.

Aniq integrallarni hisoblaymiz:

,

Demak, .►