10. Funksional qator yig‘indisining uzluksizligi

2⁰. Funksional qatorlarni hadlab integrallash. Faraz qilaylik, segmentda

(5)

funksional qator berilgan bo’lsin.

2-teorema. Aytaylik, (5) qator quyidagi shartlarni bajarsin:

1) qatorning har bir hadi segmentda uzluksiz,

2) qator segmentda tekis yaqinlashuvchi,

3) .

U holda

qator da yaqinlashuvchi va

bo’ladi.

◄ Berilgan funksional qatorning qismiy yig’ndisi

ni olamiz. Unda teoremaning 2) – va 3) – shartlariga ko’ra

bo’ladi. Tekis yaqinlashish ta’rifiga binoan

va da

tengsizlik bajariladi.

Teoremaning 1) – shartidan hamda yuqorida isbot etilgan 1-teoremadan foydalanib

integrallarning mavjudligini topamiz.

Ushbu

funksional qatorni qaraymiz. Bu qatorning qismiy yig’ndisi

bo’lsin. Ravshanki,

.

Demak,

.

Endi

funksional qatorning da tekis yaqinlashuvchiligini ko’rsatamiz. Quyidagi

ayirma uchun

bo’ladi. Demak,

.

Bu esa

funksional qatorni da tekis yaqinlashuvchiligi va

bo’lishini bildiradi.►

Keltirilgan teoremaning shartlari bajarilganda teoremaning tasdig’ni quyidagicha

ifodalash mumkin.