10. Funksional qator yig‘indisining uzluksizligi

№:3 Funksional ketmaketlik va qatorlarning funksional xossalari (hadlab limitga o‘tish,qator yig‘indisining uzluksizligi,hadlab integrallash va differensiallash)
Reja:

1⁰.Funksional qator yig‘indisining uzluksizligi.

2⁰.Funksional qatorlarni hadlab integrallash

3⁰. Funksional qatorlarni hadlab differensiallash.
1⁰. Funksional qator yig’ndisining uzluksizligi. Faraz qilaylik, to’plamda

(1)

funksional qator berilgan bo’lib, uning yig’ndisi bo’lsin.

1-teorema. Aytaylik, (1) qator ushbu shartlarni bajarsin:

1) qatorning har bir hadi to’plamda uzluksiz,

2) qator da tekis yaqinlashuvchi. U holda funksional qatorning yig’ndisi funkstiya to’plamda uzluksiz bo’ladi.

◄ Aytaylik, ,

bo’lsin. Teoremaning 2) – shartiga ko’ra

bo’ladi. Ta’rifga binoan

va da

(2)

jumladan

(3)

tengsizliklar bajariladi.

Ravshanki, (2) va (3) tengsizliklar ning dan katta biror tayin qiymatida ham o’rinli bo’ladi:

, ( )

. ( )

Teoremaning 1) shartidan va chekli sondagi uzluksiz funkstiyalar yig’ndisi yana uzluksiz bo’lishidan

funkstiyaning to’plamda uzluksiz ekanligi kelib chiqadi. Demak, funkstiya da uzluksiz. Unda, ta’rifga binoan

tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha da

(4)

bo’ladi.

Yuqoridagi ( ), ( ) va (4) tengsizliklardan foydalanib topamiz:

Bu esa funkstiyaning nuqtada uzluksiz bo’lishini bildiradi. Modomiyki, nuqta to’plamning ixtiyoriy nuqtasi ekan, funkstiya to’plamda uzluksiz bo’ladi.►

Yuqorida keltirilgan teoremaning shartlari bajaril-ganda uning tasdig’ni quyidagicha

ifodalash mumkin.