20. Funksional qatorlarni hadlab integrallash. Faraz qilaylik, segmentda
(5)
funksional qator berilgan bo’lsin.
2-teorema. Aytaylik, (5) qator quyidagi shartlarni bajarsin:
1) qatorning har bir hadi segmentda uzluksiz,
2) qator segmentda tekis yaqinlashuvchi,
3) .
U holda
qator da yaqinlashuvchi va
bo’ladi.
◄ Berilgan funksional qatorning qismiy yig’ndisi
ni olamiz. Unda teoremaning 2) – va 3) – shartlariga ko’ra
bo’ladi. Tekis yaqinlashish ta’rifiga binoan
va da
tengsizlik bajariladi.
Teoremaning 1) – shartidan hamda yuqorida isbot etilgan 1-teoremadan foydalanib
integrallarning mavjudligini topamiz.
Ushbu
funksional qatorni qaraymiz. Bu qatorning qismiy yig’ndisi
bo’lsin. Ravshanki,
.
Demak,
.
Endi
funksional qatorning da tekis yaqinlashuvchiligini ko’rsatamiz. Quyidagi
ayirma uchun
bo’ladi. Demak,
.
Bu esa
funksional qatorni da tekis yaqinlashuvchiligi va
bo’lishini bildiradi.►
Keltirilgan teoremaning shartlari bajarilganda teoremaning tasdig’ni quyidagicha
ifodalash mumkin.
Do'stlaringiz bilan baham: |