10. Дискретные системы управления

10.2. Описание дискретных сигналов во временной области

10.2.1. Дискретные функции времени и уравнения в конечных разностях

В общем случае, дискретная функция это функция дискретного аргумента. Если аргументом является время, то речь идет о дискретной функции времени. Обозначение

дискретной функции времени таково:

где - число периодов дискретизации, прошедших с начала отсчета. Графическое представление дискретной функции времени показано на рис. 10.15.

Отметим, что имеющейся непрерывной функции при фиксированном соответствует одна дискретная функция тогда как для данной дискретной функции времени можно сопоставить множество непрерывных функций, имеющих одинаковые дискретные значения. Это положение иллюстрирует
рис. 10.16.

Локальные свойства дискретных функций времени характеризуют с помощью конечных разностей. Дискретной разностью 1-го порядка называют дискретную функцию, определяемую следующим образом:

Дискретной разностью го порядка называется дискретная функция


На рис 10.16 показаны разности первого порядка:
для
,
для
Чтобы характеризовать интегральные свойства дискретных функций используют понятие конечной суммы:
.
Необходимо отметить, что между интегралом и конечной суммой имеется существенная разница, а именно: конечная сумма не зависит от перемены пределов суммирования, тогда как интеграл непрерывной функции меняет свой знак с переменой пределов интегрирования.
Уравнение, связывающее дискретные функции и их конечные разности разных порядков, называется разностным уравнением:

Разностные уравнения широко используются для записи алгоритмов управления
цифровых управляющих устройств (контроллеров).


10.2.2. Эквивалентная схема дискретного элемента. Математическое его описание
Заметим, что решение и использование разностных уравнений высоких порядков
является трудным. Однако, прямое использование преобразования Лапласа, значительно упрощающего решение дифференциальных уравнений непрерывных систем, не может быть применено к дискретным функциям, не удовлетворяющим исходным требованиям преобразования Лапласа.
Поэтому во временной области используют представление дискретных функций с
помощью - функций, являющихся непрерывными функциями времени.
С этой целью вводится понятие об абстрактном дискретном элементе, заменяющего реальный дискретный элемент последовательным соединением идеального импульсного элемента (ИИЭ) и формирующего звена (ФИ), восстанавливающем реальную форму импульсов (рис. 10.17).

На рис.10.17:
- последовательность выходных импульсов идеального импульсного элемента;
- последовательность выходных импульсов реального импульсного элемента.
Идеальным импульсным элементом называется абстрактный элемент, который под действием непрерывного сигнала на его входе генерирует мгновенные импульсы типа -функций, которые следуют с периодом, равным периоду реального дискретного элемента, и по площади равны значениям непрерывного сигнала в моменты времени, непосредственно предшествующие моментам появления импульсов.

Рис. 10.16 отражает процесс преобразования непрерывного сигнала в последовательность модулированных по площади -функций.
Идеальный импульсный элемент позволяет также представить преобразование
непрерывного сигнала в последовательность цифровых значений. При этом, площадь дельта функций равна цифровым значениям в соответствующие моменты квантования.
Это преобразование показано графически на рис.10.17.

-функцией называется функция , удовлетворяющая следующим условиям:

1. 2. .
Согласно этим условиям импульс типа -функции должен иметь амплитуду,
равную бесконечности. На рисунках принято представлять мгновенные импульсы с конечной амплитудой, равной площади -функции. На рис.10.18 показана последовательность -функций единичной площади.



-функция в момент времени обозначается - функции, появляющиеся
в моменты времени , записываются как
Вся последовательность -функций единичной площади будет представляться так:

Последовательность мгновенных импульсов на выходе идеального импульсного

элемента может рассматриваться как результат модуляции последовательности
непрерывным сигналом (рис. 10.19)