10. Дискретные системы управления

10.7. Построение логарифмических амплитудно-частотных (ЛАЧХ) и фазочастотных характеристик(ФЧХ) разомкнутых дискретных систем

10.7.1. Связь между круговой частотой ω и аргументом w-преобразования

Построение логарифмических амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик разомкнутых систем наталкивается на определенные трудности. В самом деле есть функция трансцендентная от ω, и расчет логарифмов прямым способом не возможен. Если мы возьмем выражение комплексной передаточной функции , мы имеем сумму, которая тоже не поддается логарифмированию. Поэтому используют преобразование, переводящее круг единичного радиуса плоскости  в левую полуплоскость новой переменной Поэтому мы используем - преобразование, которое нам уже известно.

Введем в это выражение, чтобы найти соотношение между w и ω:



где - относительная псевдочастота. Нетрудно заметить, что: интервал частот ω =(0≤ ω ≤π/T) соответствует изменению в интервале 0 ≤ ≤ ∞ что означает, что характеристики, построенные в функции , будут подобными характеристикам непрерывных систем.
На практике, строят характеристики дискретных систем в функции абсолютной псевдочастоты , откуда Дело в том, что на низких частотах
Это говорит о том, что частотные характеристики, построенные в функции ,совпадают практически с характеристиками приведенной непрерывной части дискретной системы.
10.7.2.Построение логарифмических характеристик интегрирующего звена
Структурная схема элемента представлена на рис. 10.51.



Схема содержит идеальный импульсный элемент, экстраполятор 0-го порядка и непрерывный интегратор. Два непрерывных элемента объединены в приведенную непрерывную часть (ПНЧ).
Передаточная функция приведенной непрерывной части

Дискретная передаточная функция ПНЧ:

Делаем подстановку

Подставим вместо . Имеем тогда
Выражение логарифмической АЧХ:

Выражение логарифмической ФЧХ: ()=-arctg  .
Построение характеристик выполнено на рис. 10.52.

Следует отметить, что характеристики et () совпадают полностью с характеристиками непрерывного интегратора в области низких частот. Разница появляется лишь на высоких частотах.. ФЧХ стремится к -180^о , что означает снижение запаса устойчивости по сравнению с непрерывными системами.

Важно также отметить, что совпадение характеристик на низких частотах позволяет перенести на дискретные системы оценки, сделанные для непрерывных систем в установившихся режимах.