10. Дискретные системы управления

10.6.4. Критерий характеристического полинома устойчивости замкнутых дискретных систем.
Критерий характеристического полинома базируется на анализе прохождения годографа Михайлова относительно начала координат комплексной плоскости.
Вектор может быть построен по характеристическому полиному, который является левой партией характеристического уравнения замкнутой дискретной системы.
где 0 ≤ ω ≤ π/T.
Среди методов построения годографа Михайлова известны наиболее применимые. Это аналитический метод и метод графический. Аналитический метод применим к системам порядка 3-го не более. Графический метод применим к системам любого порядка. Он заключается в представлении характеристического полинома замкнутой системы в следующем виде:
Порядок построения годографа следующий:
1. Строят годограф по выражению: Это будет полукруг с центром в т. a₁ и радиусом a₀ (рис. 10 48).
2. Строят годограф поворачивая векторы на углы ωT.
3. Строят годограф de , перенося ось координат на a₂ налево или направо, (соответственно знаку a₂).
4. Строят годограф , поворачивая векторы для различных значений ω по отношению к новому началу координат 0₁.
5. Продолжая действия, описанные выше, получают, наконец

Годографы устойчивых систем порядка 2 и 4 показаны на рис.1049, a et b.

а) б)

Формулировка критерия устойчивости замкнутых дискретных систем вытекает из принципа аргумента, согласно которому вектор z-z_i соответствующий корню , получает приращение угла равно 2π, а вектор, соответствующий корню , имеет
приращение угла, равное 0, когда частота изменяется в пределах: 0 ≤ ω ≤2 π/T (рис.10.50).

Если все корни , общий прирост угла будет равен 2πn. Учитывая, что общее приращение угла будет в 2 раза меньше при изменении частоты в пределах

0 ≤ ω ≤ π/T по сравнению с изменением, равным (- π/T ≤ ω ≤ π/T), получим следующую формулировку критерия: дискретная замкнутая система будет устойчивой, если годограф проходит 2n квадрантов плоскости D в положительном направлении при изменения частоты в пределах 0 ≤ ω ≤ π/T, не становясь нулем, и не пересекаясь, сам с собой.