10. Дискретные системы управления

10.6.2.1. Аналог критерия Гурвица
Мы убедились, что области устойчивых корней плоскостей s и z не совпадают. Поэтому критерий Гурвица непрерывных систем не может быть применен непосредственно к исследованию устойчивости дискретных систем. Поэтому необходимо ввести преобразование характеристического уравнения от z в уравнение другой переменной, для которой область устойчивых корней оказалась бы в левой полуплоскости. Таким преобразованием является так называемое w-преобразование

Из выражений w-преобразования следует, что любому z удовлетворяет w<0.
Рис. 10.44 отражает связь между областями устойчивых корней области z (рис.10.44,a) и области w (рис. 10.44,b).

Следовательно, если подвергнуть характеристическое уравнение преобразованию в область w, то-есть, подставляя (1+w)/(1-w) вместо z, можно применить критерий Гурвица к уравнению

Напомним, что матрица Гурвица записывается следующим образом



Критерий Гурвица формулируется такt: чтобы система была устойчивой, то-есть, все вещественные части всех корней были отрицательными, необходимо, чтобы:

1. 
   все b_i > 0 ;
   
2. 
   все миноры Δ_i > 0, где Δ₁ = , Δ₂= и так далее.
   

Рассмотрим два примера применения критерия Гурвица.
Пример 1. Пусть
Характеристическое уравнение: ; согласно критерия Гурвица
b₀ > 0 et b₁ > 0, то-есть, > 0 et > 0.
Пример 2. Пусть 0.
Характеристическое уравнение:
.
Имеем, следовательно, условия устойчивости: > 0, >0, > 0.
По мере роста порядка характеристического уравнения сложность условий устойчивости возрастает. Поэтому критерий Гурвица используется для уравнений порядка