1. Statistik fizika vazifalari. Fazalar fazosi. Tasviriy nuqtalar

2. Cheksiz muhit uchun diffuziya, issiqlik
o’tkazuvchanlik tenglamalari va ularning yechimlari

Tizim zarralari konsentrasiyasi doimiy bo’lgan, ya’ni =0 bo’lgan tizimda temperatura bir xil taqsimlanmagan xususiy holni tekshiraylik.

Bu holda (1.3) va (1.6) formulalari bo’lmaydi va (1.5) hamda (1.7) formulalari quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:


(2.1)

Tekshiriladigan muhitda bosim doimiy saqlangani uchun, entropiya faqat temperaturaga bog’liq bo’ladi va

(2.2)

Ushbu munosabatni (2.1) - ga tadbiq etamiz va (2.1) -dagi ikkala tenglamadan - issiqlik miqdorining oqimisiz quyidagini hosil qilamiz:

(2.3)

Odatda bundan ham soddaroq hol, ya’ni χ va S_r - lar temperaturaga bog’liq bo’lmagan xususiy hol tekshiriladi. U holda χ -ni div belgisi ostidan chiqarish mumkin va (2.3) o’rniga bundan ham oddiyroq tenglamani Furye issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasini hosil qilamiz:

(2.4)
bu yerda - temperatura o’tkazuvchanlik koeffisiyenti.
Ushbu issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama bo’lib, muhitda issiqlikning tarqalish jarayonini tushunishga imkon yaratadi.
Ushbu va shu kabi bir qator differensial tenglamalar matematik fizika tenglamalari fanida batafsil turlicha xususiy hollar uchun yechilgan va ular tahlil etilgan. Quyida biz oddiy hol uchun matematik fizika tenglamalari fani natijalaridan foydalanamiz.
Xuddi shuningdek, ikkinchi xususiy holni ko’ramiz. T=const bo’lsin. Bu holda va n - kattaliklarini topish uchun (1.3) va (1.6)- tenglamalari yetarlidir.
(2.5)

Oddiylik uchun D - diffuziya koeffisiyentini n - konsentrasiyaga bog’liq emas deb olamiz. U holda (2.5) ko’rinishidagi ikkala tenglamadan - ni chiqarib yuborish yo’li bilan quyidagi ko’rinishdagi diffuziya tenglamasini hosil qilamiz:

(2.6)

Bu tenglama shaklan (2.4) ko’rinishdagi issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasiga aynan mos keladi.

Ushbu tenglamalardan birining, masalan (2.4) - ning yechimini topaylik. Oddiylik uchun chegara shartlarini bilish talab etilmaydigan cheksiz muhitga tegishli bo’lgan T(x,y,z,t) funksiyasini topamiz. t=t₀ - boshlang’ich vaqt uchun esa butun muhit bo’ylab T(x,y,z,t₀) - temperatura taqsimoti berilgan bo’lsin. Dastlab (2.4) tenglamasining xususiy yechimini topish bilan shug’ullanaylik. Buning uchun T - temperatura faqat t - vaqtga va koordinata boshidan x,y,z - koordinatalar bilan aniqlangan r - masofaga bog’liq deb hisoblaymiz. Qabul qilingan hol uchun (2.4) tenglamasining xususiy yechimi
(2.7)

ko’rinishga ega bo’ladi. Bu ifodani bevosita tenglamaga tadbiq etish yo’li bilan xususiy yechim ekanligiga ishonch hosil qilish mumkin. Shuning bilan birga A=const - ni (1/4πk)^3/2 ko’rinishda qabul qilish qulaydir.

Ushbu yechimning xususiyatlarini ko’rib chiqaylik. r→∞ bo’lganda har qanday t uchun ham T=0 bo’ladi. r=0 bo’lganda esa T o’zining maksimal qiymatiga ega bo’ladi. (2.7) funksiyasi boshlang’ich vaqtda r=0 nuqtaga cheksiz yuqori temperatura manbai kiritilgan hol uchun temperatura o’zgarishini anglatadi.
Endi t=t₀ vaqtda issiqlik manbai x=ξ, y=η, z=ζ bo’lgan nuqtaga kiritilgan bo’lsin. Muhitning boshlang’ich temperaturasini T₀ edi deb qabul qilaylik. Bu hol uchun ham (2.7) - funksiyasidan o’zgaruvchilarni almashtirish yo’li bilan tenglama yechimini topish mumkin. Buning sababi shundan iboratki (2.4) tenglamasida koordinatalar, vaqt va temperatura bevosita ishtirok etmaydi, balki ularning faqat differensiallari ishtirok etadi. Shuning uchun t,x,y,z o’zgaruvchilariga, mos ravishda -t₀,-ξ,-η,-ζ doimiyliklarini qo’shganimiz bilan ushbu tenglamada hyech qanday o’zgarish bo’lmaydi va uning yechimi:


(2.8)

ko’rinishga ega bo’ladi. Endi (2.4) tenglamasining umumiy yechimini topaylik. Buning uchun (2.8)- xususiy yechimni ξ,η,ζ - larga bog’liq bo’lgan ixtiyoriy funksiyaga ko’paytiramiz va natijani ξ,η,ζ - larni cheksiz chegaralar bo’yicha integrallaymiz:

(2.9)

Ushbu hosil qilingan funksiya ham (2.4)- tenglamaning yechimi bo’ladi. Chunki tekshirilayotgan tenglama chiziqli va doimiyga ko’paytirilgan yechimlarining yig’indisi ham uning yechimidir. Bunga (2.9) - ni (2.4) - ga tadbiq etish yo’li bilan ishonch hosil qilish mumkin. (2.9) - ning integral osti ifodasini t va x,y,z - lar bo’yicha differensiallash mumkin, chunki x,y,z, t - lar ξ,η,ζ - larga bog’liq emas.

f (ξηζ) - funksiyasining fizik ma’nosini aniqlaylik. Buning uchun t - ni t₀ - ga intiltirish bilan bir qatorda integral ostida quyidagicha o’zgaruvchilar almashtirishi kiritamiz:


(2.10)

U holda:

(2.11)


t→t₀ bo’lganda (2.11) dagi f funksiyasi t=t₀ nuqtada integral ostidan chiqariladi, qolgan Puasson integrali esa π^3/2 - ni beradi. Shunday qilib
T=T₀+f(x,y,z)
va
f(x,y,z)=T(x,y,z,t₀) - T₀
bo’ladi. Natijada (2.9) - ni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:


(2.12)

(2.12) formulasi berilgan boshlang’ich T(x,y,z,t₀) - temperatura taqsimotiga asoslangan holda ixtiyoriy t - vaqti uchun temperatura taqsimotini aniqlashga imkon yaratadi.

Xuddi shuningdek (2.6) - diffuziya tenglamasi yechimini aniqlash mumkin. Buning uchun T - ni n - ga va k - ni D - ga almashtirish lozim xolos.