1. Statistik fizika vazifalari. Fazalar fazosi. Tasviriy nuqtalar

4. Belgilangan bosim ostida hajm
fluktuasiyasi

Aytaylik, bizlarni qiziqtirayotgan F - fizik kattaligi bo’lib tizimning V - hajmi xizmat qilsin. Termodinamik muvozanat holatlar nazariyasida V - hajm tashqi parametr vazifasini bajarar edi va uning qiymati yoki belgilangan, yoki bo’lmasam ma’lum bir yo’nalish bo’yicha sekin o’zgaradi deb hisoblangan edi. Masalani bu yo’sinda qaraganimizda hajm fluktuasiyalanishi mumkin emas edi. Biroq V - ning qiymati hyech narsa bilan chegaralanmasa va tizim doimiy bosim ostida bo’lsa hajm kattaligida fluktuasiya hodisasi sodir bo’lishi mumkin.

Jismga doimiy bosim ta’sir qilish sharoitini hosil qilish oson. Faraz qilaylik jism silindr ichida bo’lib, unda porshen ozod harakat qilishi mumkin va porshen ustiga P=pS - yuk qo’yilgan bo’lsin (P - og’irlik p- bosim, S - porshen yuzasi). Bu holda hajm o’zgarishi porshen balandligi h=V/S - ning o’zgarishiga bog’liq va, o’z navbatida, Ph - potensial energiyaga, hamda - kinetik energiyaga bog’liq. Shunday qilib, jism va yuk o’zaro kuchli ta’sirda bo’ladi hamda bitta butun tizim deb qarash kerak.
(4.1)
h - balandlik o’rniga unga to’g’ri keluvchi V=h·S hajmni olamiz.
Ph=pS·V/S=pV;
(4.1) - dagi - tezlikni ( ) umumlashtirilgan impuls bo’yicha ifodalaymiz:

U holda (4.1):
(4.2)
Agar F - umumiy tizimning ozod energiyasi desak, V - hajmning V-dan V+dV- gacha oraliqda bo’lish ehtimoliyati:
(4.3)
Ehtimoliyatni normallashtirish qoidasidan foydalanib

ko’rinishdagi belgilash kiritamiz. Ushbu formulada ma’nosiga ko’ra F_j(θ,V) - V-hajm belgilangan, lekin ixtiyoriy bo’lgan jism uchun ozod energiya.
(4.3) - ni P_V bo’yicha integrallasak:
(4.4)
Xususiy holda, N - zarrali ideal gaz uchun: F=-N·θ·lnV+f(θ)
va (4.5)
Bu ifoda quyidagi holda maksimumga ega bo’ladi:



(4.6) dan ko’rinib turibdiki, eng katta ehtimolli hajm V₀ bu holat tenglamasini qanoatlantiruvchi hajm ekan.
Ixtiyoriy jism uchun (4.4) - formuladan foydalanmoq lozim, buning uchun ozod energiyaning hajmga bog’liqligini bilish kerak. F - ning hajmga bog’liqligini dF=-SdT-pdV munosabatni integrallab eksperiment natijasidan foydalangan holda topish mumkin. Buning uchun p(T,V) - holat tenglamasini va S - entropiyaning qiymatini bilmoq lozim (S - ning qiymatini dS=dQ/T - ni integrallash orqali topiladi).
Agar F_j - ning hajmga bog’liqligi ma’lum bo’lmasa, u holda (4.4)-dagi F_j - ni hajmning V=V₀ - eng katta ehtimoli qiymatidan kichik chetlanishi bo’yicha qatorga yoyamiz. V₀ - ni bu hol uchun aniqlashda (4.4) - formulasidagi ko’rsatgichning maksimumlik shartidan foydalaniladi:

Bu esa holat tenglamasidir. (4.4) - ning ko’rsatgichini (V-V₀) - bo’yicha qatorga yoyamiz:

lekin:

(4.7) - ni hajm bo’yicha integrallab to’la tizimning F - ozod energiyasini topamiz.


Bu yerda F - faqat jism uchun Gibbsning termodinamik potensiali.
Shunday qilib, jism va yukdan iborat bo’lgan tizim uchun p - yuk tomonidan beriladigan bosim tashqi parametr vazifasini bajaradi. V₀ - muvozanat holatining hajmi esa shartidan topiladi. Bunday tizimning ozod energiyasi esa jismning Gibbs termodinamik potensialiga teng bo’ladi.
Endi hajmning o’rtacha kvadratik fluktuasiyasini hisoblaylik. Buning uchun F - ning qiymatini (4.8) - dan (4.7) - ga qo’yamiz:

Bu munosabat kritik nuqtadan boshqa barcha nuqtalar uchun to’g’ridir. Kritik nuqtada , bundan tashqari bo’ladi. Shuning uchun kritik nuqtaga taalluqli hajmning o’rtacha kvadratik fluktuasiyasini hisoblashda F_j - ni (V-V₀) bo’yicha qatorga yoyishda (V-V₀)⁴ - hadgacha hisobga olmoq lozim.
(4.9) - ga asosan barcha nuqtalarda o’rtacha kvadratik fluktuasiya θ - ga proporsional bo’lsa, kritik nuqtada hisoblashlar shuni ko’rsatadiki ~ ekan.
Endi hajm fluktuasiyasi gazli termometrning ko’rsatish aniqligiga chegara qo’yishi masalasini ko’raylik.
Termik jism sifatida ideal gazni olib belgilangan bosim ostida hajm o’zgarishi bilan temperatura o’zgarishini ko’rsatuvchi termometrni ko’raylik. Ideal gaz uchun: ( N - gaz molekulalarining soni).
Temperaturani o’lchash aniqligi hajmni o’lchash aniqligiga bog’liq:
yoki
Lekin hajm fluktuasiyasiga asosan u aniqlik bilan bizga ma’lum bo’lganligi uchun, temperatura ham shuncha aniqlikka ega bo’ladi, ya’ni:
(4.10)
(4.10) - munosabatdan ko’rinib turibdiki, Gazli termometrning o’lchamini oshirgan sari temperaturani shunchalik aniqroq o’lchashimiz mumkin ekan. Lekin bu xulosa shu vaqtda to’g’riki, agar Gazli termometrning issiqlik sig’imi tekshiriluvchi jism issiqlik sig’imiga nisbatan juda kichikligicha saqlansa.
Agar bu issiqlik sig’imlari bir xil tartibda bo’lsa, termometr o’zi tekshiriluvchi jismdan issiqlik miqdori oladi.
Bu yerda: S- termometr issiqlik sig’imi, - temperatura farqi.
Termometr energiyasini - fluktuasiyaga ega bo’lganligi tufayli, uning jismdan olgan issiqlik miqdori gacha aniqlikka ega, ya’ni Bu yerda f=3/2,5/2,7/2,…, mos ravishda, bir atomli, ikki atomli va shu kabi gaz uchun. Jismdan olinadigan energiya bu aniqsizlikka ega bo’lganligi tufayli, temperaturani o’lchashda - aniqsizlikkacha olib keladi.
Bu ikkala sababni qo’shib temperaturani o’lchashdagi yo’l qo’yilgan xatolikni topamiz: