1-mavzu: To‘plamlar ustida amallar

1-teorema. |x|tengsizlik -a

I s b o t. Agar | x | < a tengsizlik bajarilsa, u holda bu tengsizlik hamda (1) dan

x(2)

va -xoxirgi tengsizlikni -1 ga ko'paytirib,

x>-a (3)

ni olamiz. (2) va (3) tengsizliklardan isbotlanishi kerak bo'lgan tengsizlik kelib chiqadi.

2-teorema. Ushbu

| x|≤a (4)

tengsizlik

-a≤x≤a (5)

tengsizlikka teng kuchli.

Isbot. (4) va (5) tengsizliklarning teng kuchliligi < belgi uchun oldingi teoremada isbotlandi.

Agar endi |x| = a bo'lsa, u holda yo x= a, yoki x=-a bo'lib, (5) munosabat bajariladi.

3-teorema. Agar

| x| >a (6)

bo'lsa, u holda x>a yoki x<-a bo'ladi.

Isbot. Teskarisini faraz qilaylik, ya'ni xbo'lsa, x ≤-a bo'lishi aniq. Bunday holda (5) tengsizlik bajariladi, demak, (6) munosabat qilingan farazga zid. Bu zidlik teoremani isbotlaydi.

4-t e o r e m a. Agar | x| ≥a bo'lsa, u holda x>a yoki x<-a bo'ladi.

Bu teorema ham 3- teorema kabi isbotlanadi. Natija. Ushbu

x²(7)

va

(8)

tengsizliklar teng kuchlidir.

Haqiqatan, (7) tengsizlikdan (8) tengsizlik kelib chi-qadi. Aks holda esa va |x|² ≥ a yoki x² ≥ a bo'lib, zidlikka kelamiz. Bordiyu (8) tengsizlik bajarilsa, u holda yoki x² < a bo'lib, (7) tengsizlik bajariladi.

5-teorema. Yig'indining absolyut qiymati qo'shiluvchilar absolyut qiymatlarining yig'indisidan katta bo'la olmaydi, ya'ni x₁ va x₂ haqiqiy sonlar uchun

|x₁+x₂ |≤ | x₁|+ |x₂ | (9)