1-mavzu. Sonli ifodalar al-Xorazmiy kim bo‘lgan

Birhadni birhadga bo'lish.

32a³b² birhadni 4a² birhadga bo'lamiz.

Sonni sonlar ko'paytmasiga bo'lish xossasidan foydalanamiz: sonni ko'paytmaga bo'lishda shu sonni ko'paytmaning birinchi ko'paytuvchisiga bo'lish kerak, so'ngra hosil bo'lgan natijani ikkinchi ko'paytuvchiga bo'lish kerak va hokazo. 4a² birhad 0 ga teng emas, ya’ni a 0 ga teng emas deb faraz qilamiz, natijada

(32a³b²) : (4a²) = ((32a³b²) : 4) : a² .

Endi ushbu qoidani qo'llaymiz: ко'paytmani songa bo'lishda ко'paytmaning ко'paytuvchilaridan birini shu songa bo'lish kerak. U holda

(32a³b²) : 4 = (32 : 4)a³b² = 8a³b² .

(8a³b²) : a² = (8a³ : a²)b² = 8ab² .

Shunday qilib, (32a³b²) : (4a²) = 8ab² .

Bo'lish natijasini ko'paytirish bilan tekshirish mumkin: bo'linuvchi bo'luvchining bo'linmaga ko'paytmasiga teng bo'lishi kerak.

Masalan, (56a⁵b³c) : (7a²b²c) = 8a³b bo'lish to'g'ri bajarilgan, chunki (7a²b²c)(8a³b) = 7·8a²a³b²bc = 56a⁵ b³c .

Birhadni birhadga bo'lishda harflar bo'luvchi nolga teng bo'lmaydigan qiymatlarni qabul qiladi, deb faraz qilinadi.

3. 
   Ko'phadni birhadga bo'lish.
   

2a²b + 4ab² + 8abc ko'phadni 2ab birhadga bo'lamiz.

Buning uchun ushbu qoidadan foydalanamiz: yig'indini songa bo'lishda har bir qo'shiluvchini shu songa bolish kerak, ya'ni

(2a²b + 4ab² + 8abc) : (2ab) =

= (2a²b) : (2ab) + (4ab²) : (2ab) + (8abc) : (2ab) = a + 2b + 4c .

Ko'phadni birhadga bo'lish uchun ko'phadning har bir hadini shu birhadga bo'lish va hosil bo'lgan natijalarni qo'shish kerak.

Ko'phadni birhadga bo'lish natijasini ko'paytirish bilan tekshirish mumkin. Masalan, (36n⁴m² – 45n²m⁴) : (9n²m²) = 4n² – 5m² bo'lish to'g'ri bajarilgan, chunki

(9n²m²)(4n² – 5m²) = (9n²m²)(4n²) – (9n²m²)(5m²) =

9·4n²n²m² –9·5n²m²m² = 36n⁴m² – 45n²m⁴ .

Ko'rilgan misollarda birhad (ko'phad)ni birhadga bo'lish natijasida birhad (ko'phad) hosil bo'ladi. Bunday hollarda ko'phad birhadga qoldiqsiz bo'linadi, deyiladi. Ammo, ko'phadni birhadga qoldiqsiz (butun) bo'lish hamma vaqt ham mumkin bo'lavermaydi. Masalan, ab + ac ko'phad ab birhadga qoldiqsiz (butun) bo'linmaydi.

Ko'phadni birhadga bo'lishda harflar bo'luvchi nolga teng bo'lmaydigan qiymatlarni qabul qiladi, deb faraz qilinadi.

4. 
   Ko 'phadni ko 'phadga ustunli bo 'lish.
   

Ko'phadni ko'phadga ustunli bo'lish haqida tushuncha beramiz.

Ko'phadni ko'phadga ustunli bo'lish quyidagicha bajariladi:

• 
  bo'linuvchi va bo'luvchini ularga kirgan ayni bir harf darajasining ko'rsatkichi kamayish tartibida yoziladi;
  
• 
  bo'linuvchining birinchi (eng katta daraja ko'rsatkichli) hadini bo'luvchining birinchi hadiga bo'lib, bo'linmaning birinchi hadi hosil qilinadi;
  
• 
  bo'linmaning topilgan bu birinchi hadi bo'luvchiga ko'paytiriladi va ko'paytma bo'linuvchidan ayiriladi;
  
• 
  hosil bo'lgan ayirma (birinchi qoldiq)ning birinchi hadi bo'luvchining birinchi hadiga bo'linadi, natijada bo'linmaning ikkinchi hadi hosil bo'ladi;
  
• 
  bo'linmadagi ikkinchi had bo'luvchiga ko'paytiriladi va ko'paytma birinchi qoldiqdan ayiriladi, natijada ikkinchi qoldiq hosil bo'ladi;
  
• 
  bu jarajon shu tarzda davom etaveradi. Agar qoldiqning eng katta daraja ko'rsatkichli hadi bo'luvchining birinchi hadiga bo'linmasa, u holda bo'lish qoldiqlidir.
  

1-misol: (15 – 3a³ + 5a² – 9a) ko'phadni (5 – 3a) ko'phadga ustunli bo'ling.

Yechish: 1) Bo'linuvchi va bo'luvchini a ning daraja ko'rsatkichi bo'yicha tartiblab yozamiz:

2) – 3a³ : (– 3a) = a² bo'linmaning birinchi hadi.

3) a² ni (– 3a+5) ga ko'paytiramiz, natijani bo'linuvchidan ayiramiz.

4) Ayirma (birinchi qoldiq)ning birinchi hadi (– 9a) ni (– 3a) ga bo'lamiz: (– 9a) : (– 3a) = 3 .

Bu misolda qoldiq chiqmadi.

Javob: a² + 3 .

2-misol: (a⁴ + 2a² + 6) ko'phadni (a² – 3) ko'phadga ustunli bo'ling.

Yechish:

Bu misolda bo'lish qoldiqli bo'ldi.