1-mavzu. Sonli ifodalar al-Xorazmiy kim bo‘lgan

Kublar yig'indisi va ayirmasi formulalari.

Quyidagi tenglik

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

kublar yig'indisi formulasi deyiladi.

Tenglikni quyidagicha isbotlaymiz, uning o‘ng tomonidagi qavslarni ochamiz:

(a + b)(a² – ab + b²) = a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³ =

= a³ + (ab² – ab²) + (a²b – a²b) + b³ = a³ + b³ .

Demak, a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²) .

a² – ab + b² ifoda a va b lar ayirmasining chala kvadrati deyiladi.

Shunday qilib, ikki son kublarining yig‘indisi shu ikki son yig‘indisi bilan ular ayirmasining chala kvadrati ko‘paytmasiga teng.

a³ – b³ = (a –b)(a² + ab + b²)

  tenglik kublar ayirmasi formulasi deyiladi.

Tenglikni avvalgi tenlik kabi isbotlaymiz:

(a – b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³ =

= a³ + (a²b – a²b) + (ab² – ab²) – b³ = a³ – b³ .

Demak, a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²) .

a² + ab + b² ifoda a va b lar yig‘indisining chala kvadrati deyiladi.

Shunday qilib, ikki son kublarining ayirmasi shu ikki son ayirmasi bilan ular yig‘indisining chala kvadrati ko‘paytmasiga teng.

Kublar yig'indisi va ayirmasi formulalari ham ko'phadni ko'paytuvchilarga ajratishda qo'llaniladi.

24-mavzu: Algebraik kasr. Kasrlarni qisqartirish

1. 
   Algebraik kasr. Algebraik kasrning son qiymati.
   

Quyidagi masalani yechaylik: katerning turg'un suvdagi tezligi soatiga a kilometrga, daryo oqimining tezligi soatiga b kilometrga teng. Katerning daryo oqimi bo'yicha harakat tezligi uning daryo oqimiga qarshi harakat tezligidan necha marta ortiq?

Yechish: Katerning daryo oqimi bo'yicha tezligi soatiga a + b kilometrga teng; oqimga qarshi tezligi soatiga a – b kilometrga teng. Shuning uchun daryo oqimi bo'yicha harakat tezligi oqimga qarshi harakat tezligidan

marta ortiq bo'ladi.

Javob: marta.

ifoda algebraik kasr deyiladi. Bu kasrning surati a + b , maxraji esa a – b .

Surat va maxraji algebraik ifodalar bo'lgan kasr algebraik kasr deyiladi.

Algebraik kasrlarga quyidagilar misol bo‘la oladi:

Agar algebraik kasrga kiruvchi harflar o'rniga biror sonlar qo'yilsa, u holda zarur hisoblashlar bajarilgandan keyin shu algebraik kasrning son qiymati hosil bo'ladi.

Masalan, a =5 , b = 3 bo‘lganda algebraik kasrning son qiymati ga teng bo‘ladi.

algebraik kasrda a va b o'rniga o'zaro teng bo'lmagan (a ≠ b) istalgan sonlarni qo'yish mumkin, chunki a = b bo'lganda kasrning maxraji nolga aylanadi, nolga bo'lish esa mumkin emas.

Bundan keyin algebraik kasrga kiruvchi harflar yo'l qo'yiladigan qiymatlarnigina, ya'ni shu kasrning maxraji nolga teng bo'lmaydigan qiymatlarnigina qabul qiladi, deb shartlashamiz.

Masalan, kasr uchun yo'l qo'yiladigan qiymatlar a ning a = 0 va a = 1 dan boshqa barcha qiymatlari bo'ladi.

2. 
   Kasrning asosiy xossasi.
   

Kasrning asosiy xossasini bunday yozish mumkin:

bu yerda b ≠ 0 , m ≠ 0 .

Kasrning surat va maxraji bir xil algebraik ifodaga ko'paytirilsa yoki bo'linsa, unga teng kasr hosil bo'ladi .

 

Masalan,

3. 
   Kasrni qisqartirish.
   

Kasrning asosiy xossasidan foydalanib, algebraik kasrni surat va maxrajga bir vaqtda kiruvchi umumiy ko'paytuvchiga qisqartirish mumkin, masalan:



1-misol: Kasrni qisqartiring:

Yechish: 12a²b va 4ab² birhadlar 4ab umumiy ko'paytuvchiga ega. Kasrning surat va maxrajini 4ab ga bo'lamiz:



2-misol: Kasrni qisqartiring:

Yechish: m² – n² va m² + mn ko‘phadlar m + n umumiy ko'paytuvchiga ega, chunki m² – n² = (m + n)(m – n) , m² + mn = m(m + n) . Kasrning surat va maxrajini m + n ga bo'lamiz:

Shunday qilib, kasrlarni qisqartirish uchun bu kasrlarning surat va maxrajini ularning umumiy ko'paytuvchisiga bo'lish kerak.

 

Agar kasrning surat yoki maxrajidagi ishorani qarama-qarshisiga o'zgartirilsa, и holda berilgan kasrga qarama-qarshi kasr hosil bo'ladi:

Masalan,

25-mavzu: Kasrlarni umumiy maxrajga keltirish

1. 
   Algebraik kasrlarni umumiy maxrajga keltirish.
   

6-sinf kursidan ma’lumki, oddiy kasrlarni qo'shishda avvl kasrlarni umumiy maxrajga keltirib olinadi. Masalan, kasrlar uchun umumiy maxraj 60 soni bo'ladi, bu son 4 , 15 , 10 sonlarining eng kichik umumiy karralisidir.

Algebraik kasrlarni qo'shish va ayirishda ham xuddi shunday almashtirishlarni bajarishga to'g'ri keladi, uni ham kasrlarni umumiy maxrajga keltirish deyiladi.

 

1- masala. algebraik kasrlarni umumiy maxrajga keltiring.

Yechish: Berilgan kasrlarning umumiy maxraji har bir kasrning maxrajiga bo'linishi kerak. Demak, u 3 ga, 6 ga, 4 ga, ya'ni 12 ga; a² ga va a ga, ya'ni a² ga; b ga va b² ga, ya'ni b² ga; с ga bo'linishi kerak.

Shunday qilib, kasrlarning umumiy maxraji 12 , a² , b² va с ко'рауtuvchilarni o'z ichiga olishi kerak. Umumiy maxraj sifatida 12a²b²с ko'paytmani olish lozim bo'ladi. Bu umumiy maxrajni birinchi kasrning maxrajiga bo'lib, uning surat va maxrajini ko'paytirish kerak bo'lgan birhadni topamiz. Bu birhad berilgan kasrning go'shimcha ко'paytuvchisi deyiladi. Birinchi kasr uchun bunday birhad 12a²b²с : (3a²b) = 4bc ga teng. Xuddi shunday yo'l bilan ikkinchi va uchinchi kasrlar uchun qo'shimcha ko'paytuvchilarni topamiz: 12a²b²с : (6ab²) = 2ac va 12a²b²с : (4ac) = 3ab² .

Birinchi, ikkinchi va uchinchi kasrlarning surati va maxrajini mos ravishda 4bc , 2ac va 3ab² ga ko'paytirib, ularni 12a²b²с umumiy maxrajga keltiramiz:

2. 
   Algebraik kasrlarni umumiy maxrajga keltirish qoidalari.
   

2- m a s a l a. Kasrlarni umumiy maxrajga keltiring:



Yechish: Kasrlarning maxrajini ko'paytuvchilarga ajratamiz:

Umumiy maxraj berilgan kasrlarning har birining maxrajiga bo'linishi kerak.

Umumiy maxraj birinchi kasrning maxrajiga bo'linishi uchun uning tarkibida ko'paytma bo'lishi kerak.

So'ngra, umumiy maxraj ikkinchi kasrning maxrajiga bo'linishi kerak va shuning uchun unda ko'paytuvchi bo'lishi kerak. Demak, birinchi kasr maxrajiga ko'paytuvchini yozib qo'yish kerak, ya'ni umumiy maxraj tarkibida

ko'paytma bo'lishi lozim.

Umumiy maxraj uchinchi kasrning maxrajiga bo'linishi uchun hosil qilingan ko'paytmaga ko'paytuvchini yozib qo'yish kerak. Demak, uchala kasrning umumiy maxraji

ga teng bo'ladi.

Kasrlarni umumiy maxrajga keltirish uchun ularning surat va maxrajini qo'shimcha ko'paytuvchilarga ko'paytirish kerak, ular esa umumiy maxrajni har bir kasrning maxrajiga bo'lish yo'li bilan topiladi. Berilgan kasrlar uchun ular mos ravishda quyidagilarga teng:

Demak, berilgan kasrlarni bunday yozib olish mumkin:

 

Shunday qilib, algebraik kasrlarni umumiy maxrajga keltirish uchun:

1. 
   berilgan kasrlarning umumiy maxrajini topish;
   

1. 
   har bir kasr uchun qo'shimcha ко'paytuvchini topish;
   

2. 
   har bir kasrning suratini uning qo'shimcha ко'paytuvchisiga ko'paytihsh;
   
3. 
   har bir kasrni topilgan surat va umumiy maxraj bilan yozish kerak.
   

26-mavzu: Algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish

1. 
   Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish va ayirish.
   

Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish va ayirish qoidalarini bunday yozish mumkin:



1- m a s a l a . kasrlarni qo‘shing.

Yechish:


2- m a s a l a. kasrlarning ayirmasini toping.

Yechish:

Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shishda yig‘indining maxraji qo‘shiluvchilar maxrajiga teng, surati esa qo‘shiluvchilar suratlarining yig‘indisiga teng bo‘ladi.

 

Bir xil maxrajli kasrlarni ayirishda ayirmaning maxraji ayriluvchi va ayiruvchining maxrajiga teng, surati esa ayriluvchi va ayiruvchi suratlarining ayirmasiga teng bo‘ladi.

Har xil maxrajli kasrlarni

qo'shish va ayirish qoidalari.

Har xil maxrajli kasrlarni qo'shish va ayirish uchun bu kasrlarni umumiy maxrajga keltirish va bir xil maxrajli kasrlani qo'shish yoki ayirish qoidasidan foydalanish kerak.

 3-masala. kasrlarni qo'shing.

Yechish: Berilgan kasrlarning umumiy maxraji 6a³b² ko'paytma bo'ladi. Demak,

4-m a s а lа. kasrlarning ayirmasini toping.

Yechish: Berilgan kasrlarning umumiy maxraji 15ab²c ko'paytma bo'ladi. Demak,



5-m a s a l а. kasrlarni qo'shing.

Yechish: Kasrlarning maxrajlarida turgan ko'phadlarni ko'paytuvchilarga ajratamiz: x² – x = x(x – 1) , x² – 1 = (x – 1)(x + 1) .

Kasrlarning umumiy maxraji x(x – 1)(x + 1) ko'paytma bo'ladi.

Kasrlarni umumiy maxrajga keltirib, qo'shamiz:





Shunday qilib, turli maxrajli kasrlarni qo'shish va ayirishni ushbu tartibda bajarish mumkin:

1) kasrlarning umumiy maxraji topiladi;

2) kasrlar umumiy maxrajga keltiriladi;

3) hosil bo'lgan kasrlar qo'shiladi yoki ayiriladi;

4) mumkin bo'lsa, natija soddalashtiriladi.

27-mavzu: Algebraik kasrlarni ko'paytirish va bo'lish

1. 
   Algebraik kasrlarni ko'paytirish qoidasi.
   

Algebraik kasrlarni ko'paytirish oddiy kasrlarni ko'paytirish kabi bajariladi:



1-m a s a l а. Kasrlarni ko'paytiring:



Yechish: Uchchala kasrning suratlarini bir-biriga ko‘paytiramiz hamda maxrajlarini ham o‘zaro ko‘paytiramiz:



Javob:

Shunday qilib, kasrlarni ko‘paytirish quyidagicha bajariladi:

1) ularning suratlari o‘zaro ko‘paytirilib natijaning suratiga yoziladi;

2) ularning maxrajlari o‘zaro ko‘paytirilib natijaning maxrajiga yoziladi.

2. 
   Algebraik kasrlarni bo'lish qoidasi.
   

Algebraik kasrlarni bo'lish oddiy kasrlarni bo'lish kabi bajariladi:



2-m a s a l a. va kasrlarni bo’ling.

Yechish:



Javob:

Shunday qilib, kasrlarni bo‘lish quyidagicha bajariladi:

1) bo‘linuvchining surati bo‘luvchining maxrajiga ko‘paytirilib natijaning suratiga yoziladi;

2) bo‘linuvchining maxraji bo‘luvchining suratiga ko‘paytirilib natijaning maxrajiga yoziladi.

3. 
   Algebraik kasrlarni darajaga ko'tarish qoidasi.
   

Algebraik kasrlarni darajaga ko'tarish oddiy kasrlarni darajaga ko'tarish kabi bajariladi:


3-m a s a l a. kasrni 3 – darajaga ko’taring.

Yechish:


Javob:

Shunday qilib, kasrlarni darajaga ko'tarish quyidagicha bajariladi:

1) kasrning surati darajaga ko'tarilib natijaning suratiga yoziladi;

2) kasrning maxraji darajaga ko'tarilib natijaning maxrajiga yoziladi.
28-mavzu: Algebraik kasrlar ustida birgalikda bajariladigan

1. 
   Turli amallar bilan bog‘langan algebraik kasrlar tuzishga olib keluvchi masalalar.
   

Algebraik kasrlar ustida birgalikda bajariladigan amallarga doir misollar ko'ramiz.

1- m a s a l a. Ifodani soddalashtiring:

Yechish: Qavs ichidagi ifodalarni soddalashtiramiz:

Ko'paytmani topamiz:

Javob:

2- m a s a l a. Ko'rsatilgan amallarni bajaring:

Yechish: Birinchi qavs ichidagi amalni bajaramiz:

Ikkinchi qavs ichidagi amalni bajaramiz:

Bo'lamiz:

Javob:

3- masala. Hovuz birinchi quvur orqali a soatda, ikkinchisi orqali b soatda to'ladi. Agar bir vaqtda ikkala quvurni ochib qo'yilsa, hovuz necha soatda to'ladi?

Yechish: Hovuzning hajmi V bo'lsin. Bir soatda birinchi quvur ga teng hajmni, ikkinchisi ga teng hajmni to'ldiradi, ikkala quvur esa bir soatda ga teng hajmni to'ldiradi. Qidirilayotgan vaqt t bo'lsin. t soatda ikkala quvur hovuzni butunlay to'ldirishi kerak, ya'ni

Tenglikning ikkala qismini V ga bo'lib,

ni hosil qilamiz. Qavs ichida turgan kasrlarning yig'indisi:

Shuning uchun bundan

Javob:

“Algebra 7” kursini takrorlash

Darsdan maqsad.

“Algebra” kursida o'tilgan mavzulardagi asosiy tushunchalarni qisacha takrorlab o'quvchilar yodiga solish.

Yoritiladigan savollar:

2. 
   Sonli ifoda va uning qiymati.
   

Sonli ifoda sonlardan tuzilib, matematik amallar belgilari bilan birlashtirilgan yozuvdir.

Masalan, 2·3+7;

–1/3–1/2;

20,25:4,5 + 8⁴–7,56·3,6;

72,36+(24,05:2,5–4):3,4.

Sonli ifodaning qiymati deb shu sonli ifodada ko‘rsatilgan amallarni bajarish natijasida hosil bo‘lgan songa aytiladi.

Masalan, 2·3+7 sonli ifodaning qiymati 13 soni, sonli ifodaning qiymati sonidir.

2. Algebraik ifoda va uning qiymati.

Algebraik ifoda deb sonlar va harflardan tuzilib, amallar belgilari bilan birlashtirilgan yozuvga aytiladi.

Masalan, 2∙(a+b) ifoda algebraik ifodadaga misol bo‘la oladi.

Agar algebraik ifodaga kirgan harflar o‘rniga biror sonlar qo‘yilsa algebraik ifoda sonli ifodaga aylanadi va ifodada ko‘rsatilgan amallar bajarilsa, chiqqan natija berilgan algebraik ifodaning son qiymati deyiladi.

Masalan, yuqoridagi 2∙(a+b) algebraik ifodaning a = 5, b = 3 bolgandagi son qiymati 2∙(a+b)= 2∙(5+3)=2∙8=16 bo‘ladi.

3. 
   Algebraik tenglik, o‘zgaruvchilar.
   

“=” belgisi bilan birlashtirilgan ikkita algebraik ifoda algebraik tenglik deyiladi.

Masalan, s=a∙b, p=2∙(a+ b) .

Yozuvni qisqartirish uchun ko‘paytirish belgisi “nuqta” ko‘pincha tushirib qoldiriladi. Masalan, s=ab, p=2(a + b) deb yoziladi.

Algebraik tenglikda ishtirok etayotgan harflar o‘zgaruvchilar deyiladi.

s=ab, p=2(a + b) tengliklardagi s, a va b lar o‘zgaruvchilardir

4. Arifmetik amallarning xossalari.

Qo‘shish va ko‘paytiris amallarining asosiy qonunlari quyidagilar:

4. 
   O‘rin almashtirish qonuni:
   

a + b = b + a , ab = ba .

5. 
   Guruhlash qonuni:
   

(a + b) + c = a + (b + c) , (ab)c = a(bc) .

6. 
   Taqsimot qonuni:
   

a(b + c) = ab + ac

Ayirish amalini qarama-qarshi sonni qo‘shish bilan almashtirish mumkin:

a – b = a + ( – b)

Bo‘lish amali bo‘luvchiga teskari bo‘lgan songa ko‘paytirish bilan almashtirilishi mumkin:



5. Algebraik yig‘indi.

“+” va “–“ ishoralari bilan birlashtirilgan bir nechta algebraik ifodalardan tuzilgan yozuv algebraik yig‘indi deyiladi .

a – b + c – d ifoda algebraik yig‘indiga misol bo‘la oladi, chunki uni yig‘indi shaklida quyidagicha yozish mumkin: a + (–b) + c + (–d). Bu algebraik yig‘indida qo‘shiluvchilar a, –b, c va –d bo‘ladi.

6. Qavslarni ochish qoidalari

Qavslarni ochishning ikki qoidasi mavjud.

1-qoida. Agar algebraik ifodaga qavs ishiga olingan algebraik yig‘indi
qo‘shiladigan bo‘lsa, и holda shu algebraik yig‘indidagi har bir qo‘shiluvchining ishorasini saqlagan holda qavslarni tushirib qoldirish mumkin.

Masalan,

14 + (7 – 13 + 2) = 14 + 7 – 13 + 2 ,

a + (b + c – d) = a + b + c – d ,

(a – b) + c = a – b + c .

2-qoida. Agar algebraik ifodadan qavs ichiga olingan algebraik yig‘indi ayirilsa, и holda shu algebraik yig‘indidagi har bir qo‘shiluvchining ishorasini qarama-qarshisiga o‘zgartirib, qavslarni tushirib qoldirish mumkin.

Masalan,

14 – (7 – 13 + 2) = 14 – 7 + 13 – 2 ,

a – (b + c – d) = a – b – c + d ,

– (a – b) + c = – a + b + c .

7. Tenglama, uning hadlari, ildizi.

Harf bilan belgilangan noma’lum son qatnashgan tenglik tenglama deyiladi.

Tenglik belgisidan chap va o‘ngda turgan ifodalar tenglamaning chap va o‘ng qismlari deyiladi.

Tenglamaning chap yoki o‘ng qismidagi har bir qo‘shiluvchi tenglamaning hadi deyiladi.

x + (x – 90) = 370 tenglamada chap qism x + (x – 90), o‘ng qism esa 370 .

x , (x – 90) va 370 lar esa tenglamaning hadlaridir.

Tenglamaning ildizi deb, noma‘lumning shu tenglamani to‘g‘ri tenglikka aylantiradigan qiymatiga aytiladi.

Masalan, 1 soni

2 x + 3 = 5

tenglamaning ildizi, chunki 2∙1 + 3 = 5 – to‘g‘ri tenglik.

8. Tenglamaning asosiy xossalari.

1-xossa. Tenglamaning istalgan hadini ishorasini qarama-qarshisiga o‘zgartirib, uning bir qismidan ikkinchi qismiga o‘tkazish mumkin.

2-xossa. Tenglamaning ikkala qismini nolga teng boimagan bir xil songa ko‘paytirish yoki bo‘lish mumkin.

9. Natural ko‘rsatkichli daraja.

a sonning n natural ko'rsatkichli darajasi deb, har biri a ga teng bo'lgan n ta ko'paytuvchining ko'paytmasiga aytiladi.



a sonni (takrorlanuvchi ko'paytuvchini) darajaning asosi, n sonni (ko'paytuvchi necha marta takrorlanishini ko'rsatuvchi sonni) daraja ko'rsatkichi deyiladi.

Masalan,

3⁵= 3 ∙3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 243,

bu yerda 3 – darajaning asosi, 4 – daraja ko'rsatkichi, 243 esa 3⁵ – darajaning qiymati.

10. Natural ko'rsatkichli darajaning xossalari.

1 - xossa. Bir xil asosli darajalarni ко'paytirishda asos о'zgarmasdan qoladi, daraja ko'rsatkichlari esa qo'shiladi:

.

2 - xossa. Bir xil asosli darajalarni bo'lishda asos o'zgarmasdan qoladi, daraja ko'rsatkichlari esa ayiriladi.



3 - xossa. Darajani darajaga ko'tarishda asos o'zgarmasdan qoladi, daraja ko'rsatkichlari esa o'zaro ko'paytiriladi



4 - xossa. Ko'paytmani darajaga ko'tarishda har bir ko'paytuvchi shu darajaga ko'tariladi.



5 - xossa. Kasrni darajaga коtarishda uning surat va maxraji xuddi shu darajaga ko'tariladi.

.

11. Birhad va uning standart shakli.

Raqamlar bilan yozilgan ко'paytuvchilar sonli ко'paytuvchiiar, harflar bilan belgilangan ko'paytuvchilar esa harfiy ko'paytuvchilar deyiladi.

Sonli va harfiy ko'paytuvchilar ko'paytrnasidan iborat algebraik ifoda birhad deyiladi.

Masalan, ushbu ifodalar birhadlardir:

Birinchi o'rinda turgan faqat bitta son ko'paytuvchidan va har xil asosli harfiy darajalardan tuzilgan birhadga standart shakldagi birhad deyiladi.

Birhadning standart shaklida bir xil harflar yo'q.

Birhadning sonli ko'paytuvchisi uning koeffitsiyenti deyiladi.

Masalan, birhadi quyidagi ko'rinishga keltiramiz:

Hosil bo'lgan birhad berilgan birhadning standart shaklidir.

12. Birhadlarni ko'paytirish.

Birhadlarni ko'paytirish uchun ularning koeffisiyentlarini o'zaro ko'paytirish, so'ngra bir xil harfiy ko'paytuvchilar ko'paytmasini daraja shaklida yozish kerak.

Birhadlarni ko'paytirish natijasida yana birhad hosil bo'ladi.

Masalan, 5a, 2nb, 3nc birhadlarning ko'paytmasi:

(5a) · (2nb) · (3nc) = 5a · 2nb · 3nc = (5 · 2 · 3) · a · b · c · (n · n) = 30abcn

bo'ladi.

13. Ko'phad va uni soddalashtirish.

Bir nechta birhadning algebraik yig'indisi ko'phad deyiladi. Ko'phadni tashkil qiluvchi birhadlar shu ko'phadning hadlari deyiladi.

Masalan, 5nm² – 3m²k – 7nk² + 4nm ko'phadning hadlari 5nm² , – 3m²k , – 7nk² , 4nm bo'ladi.

Ikkita haddan tuzilgan ko'phad ikkihad deyiladi, uchta haddan tuzilgan ko'phad uchhad deyiladi va hokazo.

Ko'phadning barcha hadlarini standart shaklga keltirish ko'phadni soddalashtirish deyiladi.

Masalan, ko'phadning barcha hadlarini standart shaklda yozamiz:

Demak,

14. O'xshash hadlarni ixchamlash .

Bir-biridan faqat koeffitsiyentlari bilan farq qiladigan birhadlarni о'xshash birhadlar deyiladi.

Masalan, abc va 3abc birhadlar o'xshash, 2pq² va 5q²p birhadlar ham o'xshash, lekin a²b va ab² birhadlar o'xshash emas.

Ко'phadlarni о'xshash birhadlar algebraik yig'indisi bitta birhad bilan almashtiriladigan soddalashtirish o'xshash hadlarni ixchamlash deyiladi.

Masalan,

3ab – 2bc + 4ac – ab + 3bc +4ab = =

= (3ab – ab +4ab) +( – 2bc + 3bc) + 4ac = 6ab + bc + 4ac .

15. Ko'phadlarni qo'shish va ayirish.

Bir nechta ko'phadning algebraik yig'indisini standart shakldagi ko'phad ko'rinishida yozish uchun qavslarni ochish va o'xshash hadlarni ixchamlash kerak.

Masalan,

(2n² – m²) – (n² – m² + 3q²) = 2n² – m² – n² + m² – 3q² = n² – 3q² ;

(3ab – 4bc) + (bc – ab) – (ac – 3bc) =

= 3ab – 4bc + bc – ab – ac + 3bc =2ab – ac .

16. Ko'phadni birhadga ko'paytirish.

Ko'phadni birhadga ko'paytirish uchun ko'phadning har bir hadini shu birhadga ko'paytirish va hosil bo'lgan ko'paytmalarni qo'shish kerak.

Masalan,

(3n³m – 4n²m²)(– 4nm) = 3n³m(– 4nm) – 4n²m²(– 4nm) =

= – 12 m²n⁴ + 16m³n³ ;

(11a² – 2ab + 3c²)(– 5bc) = 11a²(– 5bc) – 2ab(– 5bc) + 3c² (– 5bc) =

= – 55 a²bc + 10ab²c – 15bc³ .

17. Ko'phadni ko'phadga ko'paytirish.

Ko'phadni ko'phadga ko'paytirish uchun birinchi ko'phadning har bir hadini ikkinchi ko'phadning har bir hadiga ko'paytirish va hosil bo'lgan ko'paytmalarni qo'shish kerak.

Masalan,

(7n –2m)·(3n –5m) = (7n)·( 3n) + (7n)·(– 5m)+ (–2m)·(3n) + (–2m)·(–5m) =

21n² – 35mn – 6mn + 10m² = 21n² – 41mn + 10m² .
18. Birhad va ko'phadni birhadga bo'lish.

Birhadni birhadga bo'lishda bo'linuvchining koeffitsiyenti bo'luvchining koeffitsiyentiga bo'linadi, so'ngra bo'linuvchi va bo'luvchining bir xil harfiy ko'paytuvchilari bir-biriga bo'linib daraja shaklida yoziladi.

Masalan,

(32a³b²) : (4a²) = (32 : 4)(a³: a²)b² = 8ab² .

(40x²y³) : (10x³y²) = (40:10)(x² : x³) (x² : x³) (y³ : y²) = 4 x^-1y .

Ko'phadni birhadga bo'lish uchun ko'phadning har bir hadini shu birhadga bo'lish va hosil bo'lgan natijalarni qo'shish kerak.

Masalan,

(2a²b + 4ab² + 8abc) : (2ab) =

= (2a²b) : (2ab) + (4ab²) : (2ab) + (8abc) : (2ab) = a + 2b + 4c .

19. Umumiy ko'paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarish.

Ко'phadni ikkita yoki bir nechta ко'phadlar ко'paytmasi shaklida ifodalash ko'phadni ko'paytuvchilarga ajratish (yoyish) deyiladi.

Agar ko'phadning barcha (son yoki harfiy) hadlari umumiy ko'paytuvchiga ega bo'lsa, и holda shu ko'paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarish mumkin.

Qavs ichida berilgan ko'phadni shu umumiy ko'paytuvchiga bo'lish natijasida hosil qilingan ko'phad qoladi.

Masalan,

ab + ас – ad = a(b + с – d).

Ko'phadni umumiy ko'paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarish yo'li bilan ко'paytuvchilarga ajratish uchun:

1) shu umumiy ko'paytuvchini topish;

2) uni qavsdan tashqariga chiqraish kerak.

Masalan,

ab – b = b(a – 1);

4a²b³ – 6a³b² = 2a²b² (2b – 3a) yoki

4a²b³ – 6a³b² = – 2a²b² (3 a – 2b) .

20. Yig'indining va ayirmaning kvadrati.

Ikki son yig'indisining kvadrati birinchi son kvadrati, qo'shuv birinchi son bilan ikkinchi son ko'paytmasining ikkilangani, qo'shuv ikkinchi son kvadratiga teng:

(a + b)² = a² + 2ab + b² .

Ikki son ayirmasining kvadrati bi­rinchi son kvadrati, ayiruv birinchi son bilan ikkinchi son ko'paytmasining ikki­langani, qo'shuv ikkinchi son kvadratiga teng.

(a – b)² = a² – 2ab + b² .

Bu formulalar qisqa ko‘paytirish formulalari deyiladi.

21. Ko'phadni guruhlash usuli bilan ko'paytuv­chilarga ajratish qoidasi .

K'phadni guruhlash usuli bilan ko'paytuv­chilarga ajratish uchun:

1) ko'phadning hadlarini, ular ko'phad shaklidagi umumiy
ko'paytuvchiga ega bo'ladigan qilib, guruhlarga birlashtiriladi;

2) bu umumiy ko'paytuvchini qavsdan tashqariga chiqariladi.

Masalan,

ax + bx – ay – by + az + bz =

= (ax + bx) – (ay + by) + (az + bz) =

= x(a + b) – y(a + b) + z(a + b) =

= (a + b)(x – y + z) .

22. Yig'indining va ayirmaning kubi.

Ikki son yig'indisining kubi:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ .

Ikki son ayirmasining kubi:

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³ .

Bu formulalar ham qisqa ko‘paytirish formulalari deyiladi.

23. Kvadratlar ayirmasi formulasi.

Ikki son kvadratlarining ayirmasi shu sonlar ayirmasi bilan ular yig'indisining ko'paytmasiga teng:

(a + b)(a – b) = a² – b² .

Bu formula ham qisqa ko‘paytirish formulasi deyiladi.

24. Kublar yig'indisi va ayirmasi formulalari.

Ikki son kublarining yig‘indisi shu ikki son yig‘indisi bilan ular ayirmasining chala kvadrati ko‘paytmasiga teng:

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²) .

Ikki son kublarining ayirmasi shu ikki son ayirmasi bilan ular yig‘indisining chala kvadrati ko‘paytmasiga teng:

a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²) .

Bu formulalar ham qisqa ko‘paytirish formulalari deyiladi.

25. Ko'phadni ko'paytuvchilarga ajratish qoidalari.

Ko'phadni ko'paytuvchilarga ajratish uchun ushbu qoidalarga amal qilish lozim:

1) agar umumiy ko'paytuvchi bo'lsa, uni qavsdan tashqariga chiqarish;

2) ko'phadni qisqa ko'paytirish formulalari bo'yicha ko'paytuvchilarga ajratishga urinib ko'rish;

3) agar oldingi usullar maqsadga olib kelmasa, guruhlash usulini qo'llashga harakat qilish.

26. Algebraik kasr. Uning son qiymati.

Surat va maxraji algebraik ifodalar bo'lgan kasr algebraik kasr deyiladi.

Algebraik kasrlarga quyidagilar misol bo‘la oladi:

Agar algebraik kasrga kiruvchi harflar o'rniga biror sonlar qo'yilsa, u holda zarur hisoblashlar bajarilgandan keyin shu algebraik kasrning son qiymati hosil bo'ladi.

Masalan, a =5 , b = 3 bo‘lganda algebraik kasrning son qiymati ga teng bo‘ladi.

27. Algebraik kasrning asosiy xossasi.

Algebraik kasrning surat va maxraji bir xil algebraik ifodaga ko'paytirilsa yoki bo'linsa, unga teng kasr hosil bo'ladi:

bu yerda b ≠ 0 , n ≠ 0 .

28. Algebraik kasrlarni qisqartirish.

Algebraik asrlarni qisqartirish uchun bu kasrlarning surat va maxrajini ularning umumiy ko'paytuvchisiga bo'lish kerak:

Masdalan,

Agar kasrning surat yoki maxrajidagi ishorani qarama-qarshisiga o'zgartirilsa, и holda berilgan kasrga qarama-qarshi kasr hosil bo'ladi:



29. Algebraik kasrlarni umumiy maxrajga keltirish qoidalari.

Algebraik kasrlarni umumiy maxrajga keltirish uchun:

4. 
   berilgan kasrlarning umumiy maxrajini topish;
   
5. 
   har bir kasr uchun qo'shimcha ко'paytuvchini topish;
   
6. 
   har bir kasrning suratini uning qo'shimcha ко'paytuvchisiga ko'paytihsh;
   
7. 
   har bir kasrni topilgan surat va umumiy maxraj bilan yozish kerak.
   

Masalan, algebraik kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz:

Umumiy maxraj birinchi kasrning maxrajiga bo‘linishi uchun uning tarkibida bo’lishi kerak. Umumiy maxraj ikkinchi kasrning maxrajiga bo‘linishi uchun uning tarkibida bo’lishi kerak, shuning uchun berilgan kasrlar uchun umumiy maxraj bo‘ladi. Birinchi va ikkinchi kasrlar uchun qo‘shimcha ko‘paytuvchilar mos ravishda

ga teng.

Demak, berilgan kasrlarni bunday yozamiz:



30. Algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish.

Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shishda yig‘indining maxraji qo‘shiluvchilar maxrajiga teng, surati esa qo‘shiluvchilar suratlarining yig‘indisiga teng bo‘ladi.

Bir xil maxrajli kasrlarni ayirishda ayirmaning maxraji ayriluvchi va ayiruvchining maxrajiga teng, surati esa ayriluvchi va ayiruvchi suratlarining ayirmasiga teng bo‘ladi.

Masalan,

Har xil maxrajli kasrlarni qo'shish yoki ayirish uchun bu kasrlarni umumiy maxrajga keltirish va bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish yoki ayirish qoidasidan foydalanish kerak.

Masalan,

31. Algebraik kasrlarni ko'paytirish va bo'lish.

Algebraik kasrlarni ko‘paytirish quyidagicha bajariladi:

1) ularning suratlari o‘zaro ko‘paytirilib natijaning suratiga yoziladi;

2) ularning maxrajlari o‘zaro ko‘paytirilib natijaning maxrajiga yoziladi.

Masalan,

Algebraik kasrlarni bo‘lish quyidagicha bajariladi:

1) bo‘linuvchining surati bo‘luvchining maxrajiga ko‘paytirilib natijaning suratiga yoziladi;

2) bo‘linuvchining maxraji bo‘luvchining suratiga ko‘paytirilib natijaning maxrajiga yoziladi.

Masalan,