1-ma’ruza: Pedagogika otmda geometriyani o’qitish nazariy masalalari: Evklidga qadar geometriya. Evklidning “Negizlar” asari. Evklidning V postulati va uni isbotlashga urinishlar. Evklid va Lobachevskiy geometriyalari qiyosiy tahlili

3.1-teorema. Agar _{ } nuqtaga nisbatan _{ } bo’lsa, u holda _{ } to’g’ri chiziqning ixtiyoriy _{ }nuqtasi uchun ham _{ } bo’ladi.

Isbot. Avvalo shuni ta’kidlaymizki, _{ } bo’lgani uchun _{ } bilan _{ } kesishmaydi (5- chizma). Ikki holni tekshiramiz:

/1-hol. _{ } nuqta _{ } nurga tegishli bo’lsin. _{ } to’g’ri chiziqning ixtiyoriy _{ }nuqtasini olib, _{ } va _{ } to’g’ri chiziqlarni o’tkazamiz, so’ngra _{ } ning ichidan _{ } nurni /o’tkazamiz. _{ } bilan _{ } to’g’ri chiziqlarning kesishishligini ko’rsatamiz. _{ } nurda ixtiyoriy _{ } nuqtani olaylik, agar _{ }nuqta _{ } ga tegishli bo’lsa, yoki _{ } nuqta _{ } to’g’ri chiziqqa nisbatan _{ } bilan har xil tomonda joylashib qolsa teorema isbot etilgan bo’ladi. _{ } nuqta _{ } nuqta bilan birga _{ } to’g’ri chiziqning bir tomonida yotsin. U holda _{ } nur _{ } bilan biror _{ } nuqtada kesishadi (chunki _{ }).
_{ } uchburchak va _{ } to’g’ri chiziq uchun Pash aksiomasini tatbiq qilsak, _{ } to’g’ri chiziq _{ } yoki _{ } kesmalardan birini kesishi kerak, lekin _{ } ni kesmaydi, chunki, u kesma _{ } ning tashqarisida, _{ } nur esa uchburchakning ichida, demak _{ }nur _{ } ni kesadi va _{ }.

/2- hol. _{ } nuqta _{ } nurga tegishli bo’lmasdan, uning to’liruvchisiga tegishli bo’lsin, ya’ni _{ } nuqta _{ } bilan _{ } ning orasida yotsin. _{ }, _{ }, _{ } nuqtalardan _{ } uchburchakni hosil qilamiz (6- chizma). _{ } ning ichidan o’tgan _{ } ixtiyoriy nurni _{ } bilan kesishishligini isbotlasak, maqsadga erishgan bo’lamiz. _{ } ning toldiruvchisida biror _{ }nuqtani olib, _{ } to’g’ri chiziqni o’tkazsak, y _{ } ning ichidan o’tadi va _{ } bo’lgani uchun _{ } bilan biror _{ }nuqtada kesishadi. U holda _{ } uchburchak va _{ } to’g’ri chiziq uchun Pash aksiomasidan _{ } nur _{ } bilan kesishadi degan natijaga kelamiz. Parallel to’g’ri chiziqlar haqida gapirilganda ularning qaysi nuqtasiga nisbatan parallelligi ta’kidlanmaydi.