1-ma’ruza: Pedagogika otmda geometriyani o’qitish nazariy masalalari: Evklidga qadar geometriya. Evklidning “Negizlar” asari. Evklidning V postulati va uni isbotlashga urinishlar. Evklid va Lobachevskiy geometriyalari qiyosiy tahlili

3.2-teorema. _{ } .

/Isbot. _{ } to’g’ri chiziqning ixtiyoriy _{ } nuqtasidan _{ } ga _{ } perpendikulyar tushiramiz (7- chizma). Shartga ko’ra _{ } bilan _{ } to’g’ri chiziqlar kesishmaydi. _{ } ning ichidan o’tgan ixtiyoriy _{ } nurning _{ } bilan kesishishini ko’rsatsak kifoya.

Buning uchun _{ } to’g’ri chiziqning _{ } bilan hosil qilgan β burchak _{ } dan (parallellik burchagidan) kichik bo’lgan holni ko’rsatsak bo’ladi. _{ } ni o’tkazib, _{ } desak, _{ } uchburchak ichki burchaklarining yig’indisi _{ } dan kichik bo’lgani uchun _{ } yoki _{ } bo’ladi. _{ } bo’lgani uchun (gipotenuza katetdan kata) _{ } ga _{ } dan boshlab _{ } kesmani o’lchab qo’yib (_{ }), _{ } nuqtani topamiz. _{ } ni o’tkazib, _{ }nurni hosil qilamiz. _{ }, _{ } bo’lgani uchun _{ } bilan _{ } kesishmaydi, _{ } ning ichiga γ ni qo’yamiz, uning bir tomoni _{ } nur _{ } bilan _{ } nuqtada kesishadi (chunki _{ } nur parallellik burchagi ichidan o’tadi). Pash aksiomasiga asosan _{ } to’g’ri chiziq _{ } bilan biror _{ } nuqtada kesishadi. _{ } ning ustiga _{ } ni qo’yib, _{ } nuqtani hosil qilamiz. U holda _{ }, _{ } va _{ } bo’lgani uchun _{ }, bundan _{ }. Lekin _{ } bo’lgani uchun _{ } kesma _{ } nurga tegishli, demak _{ } nur _{ } ni _{ } nuqtada kesadi.

Quyidagi teoremalarni yuqoridagi kabi isbotlash mumkin.

3.3-teorema. Ikki to’g’ri chiziqning har biri ma’lum yo’nalishdagi bitta to’g’ri chiziqqa parallel bo’lsa, ular ham shu yo’nalishda o’zaro parallel bo’ladi.

3.4-teorema. Ikki parallel to’g’ri chiziqdan biridagi nuqtadan ikkinchisigacha bo’lgan masofa parallellik yo’nalishi tomon yetarlicha kichiklashib boradi, parallellik yo’nalishiga teskari tomonda esa bu masofa yetarlicha kattalashib boradi (ya’ni parallel to’g’ri chiziqlar parallellik yo’nalishi tomon bir-biriga asimptotik yaqinlashib boradi).