1-ma’ruza: Pedagogika otmda geometriyani o’qitish nazariy masalalari: Evklidga qadar geometriya. Evklidning “Negizlar” asari. Evklidning V postulati va uni isbotlashga urinishlar. Evklid va Lobachevskiy geometriyalari qiyosiy tahlili

Lobachevskiy aksiomasi. Tekislikda to’g’ri chiziq tashqarisida olingan nuqtadan bu to’g’ri chiziq bilan kesishmaydigan kamida ikkita to’g’ri chiziq o’tadi.

Shuni ta’kidlab o’tamizki, to’g’ri chiziqda yotmaydigan nuqtadan uning bilan kesishmaydigan to’g’ri chiziq o’tishligini tasdiqlovchi fakt absolyut geometriyaga taalluqlidir, bu to’g’ri chiziqning yagonaligini parallellik aksiomasi tasdiqlaydi. Lobachevckiy aksiomasi esa bunday to’g’ri chiziqning kamida ikkitaligini tasdiqlaydi.

2.1-teorema. Lobachevskiy tekisligida to’g’ri chiziqda yotmaydigan nuqtadan bu to’g’ri chiziq bilan kesishmaydigan cheksiz ko’p to’g’ri chiziq o’tadi.

I sbot. Lobachevskiy aksiomasiga asosan _{ } nuqtadan _{ } to’g’ri chiziq bilan (1- chizma) kesishmaydigan _{ } va _{ } to’g’ri chiziqlari o’tsin. _{ } to’g’ri chiziqda shunday _{ } nuqtani olamizki, bu nuqta va _{ } to’g’ri chiziq _{ } to’g’ri chiziq bilan aniqlanadigan turli yarim tekisliklarga tegishli bo’sin. _{ } to’g’ri chiziqda ixtiyoriy _{ } nuqtani olib, _{ } to’g’ri chiziqni o’tkazsak, bu to’g’ri chiziq _{ } bilan biror _{ } nuqtada kesishadi, _{ } nuqta _{ } bilan _{ } orasida yotadi. _{ } kesmaning ixtiyoriy _{ } nuqtasini olib, _{ } to’g’ri chiziqni o’tkazsak, bu to’g’ri chiziq _{ } bilan kesishmaydi. Haqiqatan ham, _{ } bilan _{ } to’g’ri chiziq biror nuqtada kesishadi deb faraz qilib, _{ } uchburchak va _{ } to’g’ri chiziqqa nisbatan Pash aksiomasini qo’llasak, _{ } bilan _{ } kesishadi, degan xulosaga kelamiz. Bu esa shartga zid.

Demak, _{ } kesma nuqtalari cheksiz ko’p bo’lgani uchun _{ } ga o’xshash cheksiz ko’p to’g’ri chiziqlar _{ } nuqtadan o’tib, _{ } bilan kesishmaydi.

Beshinchi postulatning barcha ekvivalentlari ham Lobachevskiy geometriyasida o’z kuchini yo’qotadi, jumladan, uchburchak ichki burchaklarining yig’indisi endi _{ } ga teng emas.