1-Ma’ruza Kompleks sonlar. Aniqmas integral. Integrallar jadvali. Aniqmas integralning xossalari va hisoblash usullari. Ratsional
Irratsional funksiyalarni integrallash
Download 0,53 Mb. Pdf ko'rish
|
1-maruza
|
Irratsional funksiyalarni integrallash ancha murakkab jarayon bo‘lib, ularning integrali har doim ham elementar funksiyalar bilan ifodalanvermaydi. Mumkin bo‘lgan hollarda irratsionalliklar u yoki bu usul yordamida har qanday holda chekli qadamda integrallanadigan ratsional funksiyaga keltiriladi. Quyida biz ayrim algebraik irratsionalliklarni integrallash jarayonini ko‘rib o‘tamiz. 15
1. ∫
kabi integralni hisoblash lozim bo‘lsin. Bu yerda o‘zining argumentlariga nisbatan ratsional funksiyadir, lar esa ratsional sonlar. Ushbu integral
va
almashtirishlar yordamida yangi o‘zgaruvchi ga nisbatan ratsional funksiyani integrallashga keltiriladi. Bu yerdagi kasr sonlarning umumiy maxrajidir. 11-Misol. ∫ √ √
ni hisoblang.
►Ildiz ko‘rsatgichlari 2 va 4 uchun 4 soni EKUK bo‘lganligi uchun
deb olamiz. U holda
, √
,
ekanligidan ∫ √
√
∫
⁄
∫
∫ (
)
|
|
√
|√
| ◄ 2. Quyidagi ∫ [ (
)
(
)
(
)
] kabi integralni hisoblash uchun
almashtirishdan foydalaniladi, bu yerda soni ratsional sonlarining umumiy maxraji. Natijada irratsionallik yangi integrallash o‘zgaruvchisi z ga nisbatan ratsional funksiyaga o‘zgaradi. 12-Misol. ∫
√
ni hisoblang. ►Bu integralni hisoblash uchun
,
,
kabi almashtirishni bajaramiz, natijada ∫
√
∫
∫ *
+
Agar
deb olsak
, dan
dan
va ni aniqlaymiz. Demak ∫
√
∫
∫
∫
|
| | √ √ √ √ |
√
◄ Xususan, yuqoridagi holda ga nisbatan irratsionallik ishtirok etsa, u yerda
almashtirishdan foydalanish qulaydir. 3. ∫ √
ko‘rinishidagi integrallar. Quyidagi ∫ √
integralni hisoblash lozim bo‘lsin. Dastlab ba’zi xususiy hollardan boshlaymiz. a) Aytaylik ∫
ni hisoblash kerak bo‘lsin. Ravshanki, va
da integral ma’noga ega emas. Bu integralni hisoblash uchun 16
kvadrat uchhaddan to‘la kvadrat ajratilib, integrallar jadvalidagi (14) yoki (16) formula qo‘llaniladi. ∫
√
∫
√ (
) ∫ √ ((
)
) |
|
∫
√ (
)
Oxirgi integral va ning ishoralariga bog‘liq ravishda ikki xil tarmoqlanadi. 1) da ∫
√
√ ∫
√
√ | √
|
√ | √
| 2) va da ∫
√ ∫
√
√ ∫
√
√ √
√ √
13-Misol. ∫
integralni hisoblang ► ∫ √
∫
√
∫ √
| √
| . ◄ 14-Misol. ∫
√
integralni hisoblang. ►∫
√
∫
√
∫
√ ∫
√
◄ b) ∫ √
kabi integralni hisoblash lozim bo‘lsin. Dastlab kasrning maxrajidagi ifodadan kvadrat uchhadning kvadrati ajratib olinadi va bu integralni ikkita integralning yig‘indisi shaklida yoziladi: ∫
√
∫
√ (
) ∫ ( (
)
) √ ((
)
)
∫ (
) √ ((
)
) (
) ∫ √ ((
)
)
17
Bu integrallarda
almashtirish bajarsak, birinchi integral darajali funksiyaning integraliga ∫ (
) √ ((
)
) ∫
(
) √ (
)
√ (
)
√
ikkinchisi esa yuqorida hisoblangan integralga keladi. 15-Misol. ∫
√
integralni hisoblang. ►∫
√
∫
√
∫
√
∫
√
∫
√
∫
√
√
| √
| ◄ v) ∫
√
kabi integralni hisoblash lozim bo‘lsin. Bu integralda
,
almashtirish bajaramiz: ∫
∫ (
) √ (
) (
) ∫
√
∫
√
Demak shakl almashtirishlardan so‘ng a) bandda qaralgan integralga kelamiz. g) Ko‘p
hollarda ∫ √
kabi integrallarni hisoblashda trigonometrik almashtirishlardan foydalaniladi. Buning uchun radikal ostidagi uchhaddan to‘la kvadrat ajratilib
almashtirish bajariladi. U holda √
√
. Mumkin bo‘lgan barcha holatlarni qarab chiqamiz: 1.
. Bu holda
belgilashlar kiritsak √
√
; 2.
. Bu holda
belgilashlar kiritsak √
√
3.
. Bu holda
belgilashlar kiritsak √
√
; 4.
. Bu holda √ ildiz ma’noga ega emas. SHunday qilib, ∫ √
integral 1. ∫ √
18
2. ∫ √
3. ∫ √
integrallardan biriga keltiriladi.
Ularning birinchisini
, ikkinchisini
, uchinchisini esa
almashtirishlar yordamida va ga nisbatan ratsional funksiyaga keltirib hisoblash mumkin. 16-Misol. ∫
integralni hisoblang. ►∫
∫
√
| | ∫
√
|
| ∫
√
∫
√
∫
√
√
√
◄ d)
∫ √
ko‘rinishidagi integral ham
almashtirish yordamida ∫ √
yoki ∫ √
integrallardan biriga keltiriladi, ular esa mos trigonometrik almashtirishlar yordamida ratsionallashtiriladi. 17- Misol. ∫ √
integralni hisoblang. ►∫ √
∫ √ (
) |
|
∫ √
| | ∫
∫ (
) ( √
) ( (
) (
) √
)
) √ ) ◄ Eslatma: Irratsional ifodalarni integrallashda yuqorida qaralgan usullardan tashqari Eyler almashtirishlari, differensial binomini integrallash kabi va boshqa shunga o‘xshash usullardan foydalaniladi.
Download 0,53 Mb. Do'stlaringiz bilan baham:
|
Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha
yuklab olish