1-Ma’ruza Kompleks sonlar. Aniqmas integral. Integrallar jadvali. Aniqmas integralning xossalari va hisoblash usullari. Ratsional

4)  Ba’zi maxsus hollardagi almashtirishlar 

 

Ko‘p  hollarda  universal  almashtirishdan  foydalanish  o‘rniga  

      va        

funksiyalarining    juft    yoki    toq    darajada  qatnashishlarini  hisobga  olish  maqsadga 

muvofiqdir. SHuning uchun quyidagi hollarni alohida qarab chiqaylik:  

a) Integral  belgisi  ostidagi  ratsional  funksiya 

     ga  nisbatan  toq  funksiya  

bo‘lsin.    Bu    holda   

             va                       almashtirishlar    orqali    integral  

belgisi  ostidagi  funksiya  ratsionallashtiriladi.  

26-Misol.   

           

∫

   

 

   

      

  integralda  

     hamda      ga  nisbatan  ratsional  bo‘lgan  integral  

belgisi    ostidagi    funksiya 

      ga    nisbatan    toq    funksiyadir.  ►SHuning    uchun  

yuqoridagi  almashtirishlardan  foydalaniladi. 

∫

   

 

   

      

  |         

            

|   ∫

 

 

  

   

     ∫

 

 

          

   

      

  ∫

     

 

     

   

     ∫ *       

  

   

 

 

   

+     

 

 

 

          |     |—   ∫

     

   

    

 

 

 

          |     |     ∫ *   

 

   

+        

 

 

 

 

          |     |           |     |      

 

 

 

         |     |        

 

 

 

 

   

 

               |        |    . ◄ 

b)  Agar    yuqoridagi    integralda    integral    belgisi    ostidagi    funksiya   

      ga  

nisbatan  toq  bo‘ladigan  bo‘lsa,  u  erda  

         almashtirishdan  foydalaniladi.  

v) Agar  yuqoridagi  integralda  qaralayotgan  funksiya  ham  

     ga  nisbatan  

ham   

      ga    nisbatan    juft    bo‘ladigan    bo‘lsa,    u    erda             almashtirishdan  

foydalaniladi.   

27-Misol. 

∫

  

      

 

     

 

 

  integralni hisoblang. 

►∫

  

      

 

     

 

 

  integralda funksiya 

     va       ga  nisbatan  juft bo‘lganligi uchun  

        almashtirishdan  foydalaniladi.   

∫

  

      

 

     

 

 

  |

         

  

   

 

 

    

   

 

   

  

 

 

    

 

 

 

 

 

   

 

|   ∫

  

  

  

    

  ∫

    

 

   

    

 

   

 

 

 

∫

    

 

  

    

 

    

 

 

∫     

 

 √ 

∫

 (√  )

  (√  )

 

 

 

 

   

 

 √ 

     √          

 

 

 

     

 

 √ 

     √          ◄ 

Eslatma:  YUqorida      boshlang‘ich    funksiyalari    elementar    funksiyalar    orqali  

ifodalanadigan  ayrim  funksiyalarning  sinfini  o‘rgandik.  SHunday  funksiyalar  ham  

mavjudki,  ularning  boshlang‘ich  funksiyalarini  elementar funksiyalar orqali ifodalash 

mumkin  bo‘lmaydi,  ya’ni  integrallanmaydigan  funksiyalar  sinfi  mavjuddir.  Quyidagi 

integrallarni elementar funksiyalar orqali ifodalab bo‘lmaydi: 

---

23 

 

1. 

∫  

  

 

  - Puasson integrali;

 

 

2. 

∫     

 

      ∫     

 

  - Frenel integrallari; 

3. 

∫

  

   

- integral logarifm; 

4. 

∫

 

 

 

  - integral logarifmga keltiriladi; 

5. 

∫

    

 

  - integral sinus; 

6. 

∫

    

 

  - integral kosinus; 

Bundan tashqari 

∫  (   √    )   ko‘rinishdagi integrallarning ko‘pchiligi      

darajasi  ikkidan  yuqori  bo‘lgan  ko‘phad  holida  elementar  funksiyalar  bilan 

ifodalanmaydi.  

Mashqlar 

1. 

Aniqmas  integrallarni  hisoblang  va  integrallash  natijasini  differensiallab 

tekshiring. 

a) 

∫      √ 

 

 

                      b)∫           √     

 

       c)∫

 

  

 

  

  

      d) 

∫  

 

 

 

√ 

 

   

 

             e)   ∫ ( 

 

√     

 

 

 

 

   

 

  

)         f) ∫

   

 

 

     

    

2.  Aniqmas integrallarni hisoblang. 

 a)

 ∫

   

 

 

     

                      b) ∫                                 c) ∫   

 

      

d)

 ∫

 

 

 

     

                e)∫                                  f)∫

    

 

 

  

    

3. Aniqmas integrallarni hisoblang. 

 a) 

∫

    

 

 

      

      

 

b) 

∫

   

√ 

 

     

    

4. Aniqmas integrallarni o‘zgaruvchini almashtirib hisoblang. 

   ∫  

 

√      

 

                               b)∫

   

  √ 

                                        

c) 

∫

 

 

√    

 

 

                                          d)∫

  

 √   

 

               

5. Aniqmas integrallarni bo‘laklab integrallash usulida hisoblang. 

a)

∫

    

 

                      b)∫                         s)∫   

     

                              

d)

 ∫         

 

              e) ∫       (

 

 

   )     

6. Aniqmas integrallarni hisoblang. 

   ∫

  

 

       

               

                      ∫

  

      

 

  

 

---

24 

 

   ∫

  

   

 

   

                                d) ∫

    

   

 

       

  

7. Aniqmas integrallarni hisoblang. 

a)

∫

√ 

√ 

 

 

  

                   b)∫

 

 

  

√ 

 

  

         ∫

    

√     

 

 

  √   

 

  

  

8. Aniqmas integrallarni hisoblang. 

 

   ∫

   

 

 

√   

 

 

 

                          b)∫

  

          

  

   ∫

      

√        

                          d)∫