SHu paytgacha integral ostidagi funksiyalar integral o‘zgaruvchisiga nisbatan
ratsional yoki irratsional bo‘lgan hollarni qarab chiqqan edik. Ushbu mavzuda biz
trigonometrik funksiyalarning integrallarini o‘rganamiz. Eng sodda hollardan
19
1)
∫
; ∫
; ∫
(
m va
n lar
ixtiyoriy haqiqiy sonlardir) kabi integrallar.
Bu
ko‘rinishdagi integrallarni hisoblash lozim bo‘lsa, trigonometrik
funksiyalarning ko‘paytmalarini yig‘indiga keltiruvchi quyidagi formulalardan
foydalaniladi:
[ ]
[ ]
[ ]
18-Misol.
∫
integralni hisoblang.
►∫
∫ (
)
∫
∫
◄
2)
∫
, ∫
kabi ko‘rinishdagi integrallar.
Bu kabi integrallarni hisoblash lozim bo‘lsa, n va m sonlarining butun musbat,
toq yoki juft sonlar ekanliklari hollari alohida qaraladi.
a) Agar
va kabi toq sonlar bo‘lsa, ular quyidagicha
almashtirish bilan ko‘phadni integrallashga olib kelinadi.
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
19-Misol.
∫
integralni hisoblang.
►∫
∫
∫
∫ ∫
∫
◄
b) Agar
va musbat juft sonlar bo‘lsa, u holda
va
formulalardan foydalanib integral ostidagi funksiyaning
darajasi tushiriladi.
20-Misol.
∫
integralni hisoblang.
►∫
∫ (
)
∫
∫
∫
∫
∫
∫
20
◄
3)
∫
kabi ko‘rinishdagi integrallar.
Bu kabi integrallarni hisoblash uchun, ( bu erda m va n lar yana butun sonlar )
quyidagi hollarni alohida o‘rganamiz:
a) Agar n va m butun sonlar hamda ulardan hech bo‘lmaganda biri toq son
bo‘lsa (aniqlik uchun n toq bo‘lsin), u integralni hisoblash quyidagicha amalga
oshiriladi.
∫
∫
∫
| | ∫
Oxirgi integral esa ratsional funksiyaning integralidir.
21-Misol.
∫
integralni hisoblang.
►∫
∫
| | ∫
∫ (
)
◄
b)
n va
m ham musbat juft sonlar bo‘lsa, qaralayotgan integralni hisoblash
trigonometrik funksiyalarning darajalarini tushirish formulalari yordamida
va
ning darajalarini integrallashga keltiriladi.
22-Misol.
∫
integralni hisoblang.
►∫
∫ (
)
(
)
∫( )
∫
∫ (
)
∫
∫
∫
∫
∫
◄
v) Agar m va n butun juft sonlar bo‘lib, ulardan hech bo‘lmaganda bittasi
manfiy bo‘lsa, yuqoridagi usulni qo‘llab bo‘lmaydi. Bu holda
yoki
almashtirishdan foydalaniladi.
23-Misol.
∫
integralni hisoblang.
►∫
∫
∫
∫
| | ∫
21
∫
∫
∫
. ◄
g) Agar
bo‘lsa ham, yoki almashtirishdan
foydalaniladi.
24-Misol.
∫
integralni hisoblang.
►∫
∫
|
| ∫
∫ (
)
|
|
|
| ◄
3)
∫ ko‘rinishdagi integrallar
Agar
va trigonometrik funksiyalarga nisbatan ratsional bo‘lgan
kabi ifodalarni integrallash lozim bo‘lsa, ko‘p hollarda universal
almashtirish deb ataluvchi
almashtirishdan foydalaniladi. Ushbu holda va
larni
formulalar yordamida yarim burchakning
lari orqali ifodalaniladi. Agar bunda
ekanligini nazarda tutsak, quyidagini hosil qilamiz:
∫ ∫ (
)
Oxirgi integral esa bizga yaxshi ma’lum bo‘lgan ratsional funksiyaning
integralidir.
25-Misol.
∫
integralni hisoblang.
►∫
∫
∫
∫
∫
∫
◄
SHunday qilib keltirilgan universal almashtirish yordamida
va
trigonometrik funksiyalarlarga nisbatan ratsional bo‘lgan ixtiyoriy
funksiyani integrallashni ratsional funksiyani integrallashga olib kelish mumkin ekan.
Lekin amaliyotda bu almashtirish ko‘pincha o‘ta murakkab ratsional funksiyalar
integrallariga olib keladi. Ana shu qiyinchiliklarni chetlab o‘tish uchun ba’zi maxsus
hollarni alohida qarab chiqamiz.