1-Ma’ruza Kompleks sonlar. Aniqmas integral. Integrallar jadvali. Aniqmas integralning xossalari va hisoblash usullari. Ratsional

Ratsional funksyalarni integrallash 

Biror  ko‘phadning  ildizlari  deyilganda,  uning  qiymatini  0  ga  aylantiradigan 

argumentning qiymatlariga aytiladi.  

Masalan, 

  

 

         kvadrat uchhadning ildizlari bo‘lib    

 

 

 

 

 

  

sonlari xizmat qiladi. CHunki ushbu qiymatlar kvadrat uchhadni 0 ga aylantiradi. 

 Algebraning  asosiy  teoremasiga  ko‘ra  har  qanday 

   darajali  ko‘phad 

karraliliklari  bilan  hisoblaganda  rosa 

   ta  ildizga  ega  bo‘ladi.  SHu  bilan  birga  bu 

ko‘phadning  ildizlari  yoki  haqiqiy  yoki  o‘zaro  qo‘shma  kompleks  sonlardan  iborat 

bo‘ladi.  

Bezu teoremasiga ko‘ra biror α haqiqiy soni 

     ko‘phadning ildizi bo‘lsa, uni 

                   

kabi ko‘paytuvchiga ajratish mumkin bo‘lib, bu erda 

     ko‘phadning darajasi       

ga teng. Xuddi shu kabi 

       sonlari ko‘phadning ildizlari bo‘lsa ko‘phad  

         

 

              

kabi ko‘paytuvchiga ajraydi. Agar ildizlar karralikka ega bo‘lsalar ko‘phad uchun mos 

ravishda  

              

 

     

yoki 

         

 

         

 

     

larni  hosil  qilamiz.  Demak,  barcha  ildizlar  bo‘yicha  ko‘phadni  ko‘paytuvchilarga 

ajratsak 

             

 

 

 

 

        

 

 

 

 

  

 

   

 

     

 

 

 

 

  ( 

 

   

 

     

 

)

 

 

 

ni hosil qilamiz. Bu yerda 

 

 

 va 

 

 

 lar mos ildizlarning karraliligini bildiradi. 

Biz  ko‘phadlarning  ildizlarini  qanday  topish,  ya’ni  ko‘phadni  qanday  qilib 

ko‘paytuvchilarga  ajratish  masalasi  bilan  shug‘ullanmaymiz,  chunki  tenglamalarni 

echish  algebraik  masala  bo‘lib,  uning  o‘zi  murakkab  jarayon.  Ko‘paytuvchilarga 

ajratishni amaliy masala sifatida misollar echish jarayoni uchun qoldiramiz. 

Aytaylik, 

      

     

    

  to‘g‘ri ratsional funksiyaning maxrajidagi       ko‘phad 

quyidagicha ko‘paytuvchilarga  ajralgan bo‘lsin:  

             

 

 

 

 

        

 

 

 

 

  

 

   

 

     

 

 

 

 

  ( 

 

   

 

     

 

)

 

 

  (19) 

---

12 

 

SHuningdek,  bu  yerdagi  kvadrat  uchhadlarning  barchasining  diskriminantlari  noldan 

kichik hamda 

 

 

      

 

     

 

       

 

       bo‘lsin.  

 

     

    

  ratsional  kasrning  eng  sodda  kasrlarga  yoyilmasida 

      ko‘phadning  har 

bir  

      

 

 ko‘paytuvchisiga 

 

  

     

 

 

  

       

 

     

 

  

       

 

 

Xuddi shu kabi har bir  

 

 

         

 

 ko‘paytuvchiga  

 

  

     

  

 

 

        

 

 

  

     

  

  

 

         

 

     

 

  

     

  

  

 

         

 

 

yig‘indi mos keladi. 

U holda quyidagi qoida o‘rinli bo‘ladi:  

Agar

       to‘g‘ri  ratsional  funksiyaning  maxrajidagi  ko‘phad  (19)  kabi 

ifodalanadigan  bo‘lsa,  uni    quyidagicha  eng  sodda  kasr  funksiyalarning  yig‘indisi 

shaklida ifodalash mumkin: 

     

    

 

 

  

   

 

 

 

  

    

 

 

 

     

 

   

    

 

 

  

 

 

  

   

 

 

 

  

    

 

 

 

     

 

   

    

 

 

  

   

 

  

   

 

 

 

 

  

    

 

 

 

     

 

   

    

 

 

  

 

 

  

   

  

 

 

  

 

   

 

 

 

  

   

  

  

 

  

 

   

 

 

 

     

 

   

  

 

  

 

   

 

 

  

 

 

 

  

   

  

 

 

  

 

   

 

 

 

  

   

  

  

 

  

 

   

 

 

 

     

 

   

   

   

  

 

  

 

   

 

 

  

     

 

  

   

  

 

 

  

 

   

 

 

 

  

   

  

( 

 

  

 

   

 

)

 

     

 

   

   

   

( 

 

  

 

   

 

)

  

                                                                                                  (20) 

Hosil  bo‘lgan  yoyilmadagi 

 

  

   

  

       

  

   

  

       

  

   

  

   noma’lum 

koeffitsientlarni aniqlash uchun quyidagi mulohazalardan foydalanamiz: 

(20)  tenglik  ayniyatdan  iborat  bo‘lganligi  uchun  bu  tenglikning  o‘ng  tomoniga 

umumiy  maxraj  bersak,  tenglikning  ikkala  tomonining  suratlari  o‘zaro  teng  bo‘ladi. 

Natijada, darajalari bir xil bo‘lgan ikkita ko‘phadlar tengligini hosil qilamiz. 

  ning bir 

xil 

darajalari 

oldidagi 

mos 

koeffitsientlarni 

tenglashtirsak 

noma’lum 

 

  

   

  

       

  

   

  

       

  

   

  

..  koeffitsientlarni  aniqlash  uchun  chiziqli  tenglamalar 

sistemasini hosil qilamiz. Ratsional funksiyani eng sodda kasr funksiyalarga yoyishning 

bu usuliga noma’lum koeffitsientlar usuli deb ataladi. 

SHunday  qilib  to‘g‘ri  ratsional  funksiyani  integrallash  4  xildagi  eng  sodda  kasr 

funksiyalarni  integrallashga  keltirilar  ekan.  Bunda  quyidagicha  4  ta  hol    bo‘lishi 

mumkin.  

1-hol. Agar  

     to‘g‘ri  ratsional funksiyaning mahrajidagi      ko‘phadning 

ildizlari haqiqiy sonlar bo‘lib, ular bir-biriga teng bo‘lmasalar, u holda 

      faqatgina 

birinchi xildagi eng sodda kasr funksiyalarni integrallashga keltiriladi.  

►Masalan:  

∫

     

          

     ∫ *

 

   

 

 

   

+     

---

13 

 

Oxirgi integraldagi ifodaga umumiy maxraj berib, mos tengliklarni yozamiz: 

                             

,          

           

                 

,      

      

  

Aniqlangan koeffitsientlarni integralga qo‘ysak jadval integrallari hosil bo‘ladi. 

∫

     

 

 

      

     ∫ *

  

   

 

  

   

+         ∫

 

   

        ∫

 

   

       

      |     |       |     |    . ◄ 

2-hol.  Agar   

      ning  mahrajidagi  ko‘phad  faqat  haqiqiy  ildizlargagina    ega  

bo‘lib, undan  ayrimlari  takrorlanuvchi (karrali) bo‘lsa, uni integrallash  1-chi  va  2-chi  

xildagi  eng  sodda  kasr funksiyalarni   integrallashga  keltiriladi.  

►Masalan: 

∫

   

      

 

     

  ∫ *

 

   

 

 

     

 

 

 

   

+     

YUqoridagi kabi amallarni bajarsak 

  

      

 

     

 

 

   

 

 

     

 

 

 

   

  

                                     

 

    

{

         

               

                

     

{

 

 

 

      

 

  

   

 

 

   

 

  

  

Demak 

∫

   

      

 

     

   

 

  

∫

   

    

 

 

 

∫

   

      

 

 

 

  

∫

   

    

   

   

 

  

  |     |  

 

 

  

    

 

 

  

  |     |  

 

  

   |

   

   

|  

 

 

  

    

     ◄

 

Ushbu  misolda  ko‘rganimizdek,  noma’lum  koeffitsientlarni  topish  uchun 

qavslarni ochish, guruhlash va tenglamalar sistemasini echish kabi etarlicha katta hajmli 

amallarni bajarishni chetlab o‘tish uchun ixtiyoriy qiymatlar usulini qo‘llash mumkin. 

Bu  usulning  ma’nosi  shundan  iboratki,  noma’lum  koeffitsientlarni  topish  uchun  ikki 

tomon  suratlarini  tenglashtirilganda 

   ga  turlicha  qiymatlar  beriladi.  Hisoblashlarni 

osonlashtirish  uchun  maxraj  nolga  aylanadigan  qiymatlar  berilishi  qulay.  Masalan, 

yuqoridagi misolda 1 va -4 qiymatlar yordamida koeffitsientlar osongina aniqlanadi. 

3-hol.  Agar 

      ning  maxrajidagi  ko‘phadning  ildizlari  orasida  ham  haqiqiy 

karrali, ham har xil kompleks ildizlar uchrasa, uni integrallash 1-nchi, 2-nchi va 3-nchi 

xildagi eng sodda kasrlarni integrallashga keltiriladi.  

►Masalan: 

∫

 

 

   

 

  

 

 

   

 

   

    integralni  hisoblash  talab  etilgan  bo‘lsin.  Ratsional  funksiya 

suratining  darajasi  maxrajnikidan  yuqori  bo‘lganligi  uchun  kasrning  butun  va  to‘g‘ri 

kasr qismini ajratib olamiz 

---

14 

 

 

 

   

 

  

 

 

   

 

   

         

  

 

      

 

 

   

 

   

   

Demak 

∫

 

 

   

 

  

 

 

   

 

   

     ∫            ∫

  

 

      

   

 

      

      

 

     

 

 

  ∫ (

 

 

 

    

 

 

     

)       

Oxirgi integralda umumiy maxraj berib mos kasrlarni tenglashtirsak 

  

 

               

 

              

 

     

ni hosil qilamiz. Bu yerda ixtiyoriy qiymatlar usuliga ko‘ra 

      deb olsak        

ekanligi kelib chiqadi, natijada  

  

 

          

 

     

ni hosil qilamiz. Bu yerdan 

              larni topamiz. U holda: 

∫

 

 

   

 

  

 

 

   

 

   

    

     

 

 

  ∫ ( 

 

 

 

     

 

 

     

)     

     

 

 

    | |  

 

 

 

∫

      

 

 

     

     

     

 

 

    | |  

 

 

∫

        

 

 

     

    ∫

  

     

 

  

   

 

     

 

 

    | |  

 

 

  | 

 

        |  

 

 

     

   

 

   . ◄ 

4-hol.  Agar  to‘g‘ri  ratsional  funksiyaning  maxraji  ham  haqiqiy  karrali,  ham 

kompleks  karrali  ildizlarga  ega  bo‘lsa,  u  holda  uni  integrallash  to‘rtala  xildagi  eng 

sodda kasr funksiyalarni integrallashga keltiriladi. 

►∫

    

       

 

   

 

   

  ∫

    

       

 

   

 

  ∫ (

 

   

 

    

 

 

  

 

    

  

 

   

 

)     

YUqoridagi kabi amallarni bajarib quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz: 

{

 

 

 

 

         

         

                  

                 

             

  

Bu sistemani yechib topsak  

     

 

 

     

 

 

       

 

 

               

Topilgan koeffitsientlarni integralga olib borib qo‘yamiz va uni hisoblaymiz 

∫

    

       

 

   

 

   

   

 

 

∫

  

   

 

 

 

∫

   

 

 

  

     ∫

   

  

 

   

 

      

   

 

 

  |     |  

 

 

  | 

 

   |  

   

   

 

   

 

   . ◄