formulasi deb yuritiladi.
(12) tenglikning to‘g‘ri ekanligiga, uning ikkala tomonini x bo‘yicha
differensiallab ishonch hosil qilish mumkin. Ma’lumki, chap tomon uchun
∫
O‘ng tomon uchun
bo‘yicha hosila olishda ni oraliq o‘zgaruvchi sifatida qaraymiz
va
,
ekanligini e’tiborga olamiz
(∫ ( )
)
(∫ ( )
)
( )
( )
SHunday qilib (12) tenglikning o‘ng va chap tomonlaridan x bo‘yicha olingan
hosilalar teng ekan, ya’ni (12) tenglik to‘g‘riligi isbot bo‘ldi.
Eslatma: Integrallashda o‘zgaruvchini almashtirish uchun ko‘pchilik hollarda
almashtirishni
kabi emas, balki kabi olish qulay bo‘ladi.
Quyida aniqmas integralda o‘zgaruvchini almashtirishga doir bir necha misol
keltiramiz.
6-Misol.
∫ √ ni hisoblang.
►
√ almashtirish kiritamiz, u holda,
Natijada,
∫ √ ∫
∫
◄
7-Misol.
∫ √ ni hisoblang.
almashtirish bajaramiz, u holda
Demak,
∫ √ ∫ √ ∫
⁄
◄
8
8-Misol.
∫ √
hisoblansin.
►Bu yerda,
almashtirishdan foydalanamiz.
ga ko‘ra, quyidagini yoza olamiz:
∫ √
∫ √
∫
∫
Agar
va
√
√
ekanligini inobatga olsak,
natijada,
∫ √
√
√
◄
Ratsional kasrlar. Eng sodda kasr funksiyalar va ularni integrallash.
Har qanday funksiyani ham integrallaganda elementar funksiyalar yordamida
ifodalab bo‘lmaydi. Bunga ko‘plab misollar keltirishimiz mumkin. SHuning uchun
integrallari elementar funksiyalar yordamida ifodalanuvchi funksiyalar sinflarini ajratish
muhimdir. Integrallari etarlicha sodda amallar ketma- ketligi yordamida topiluvchi
funksiyalar sinfiga ratsional funksiyalar kiradi. Ma’lumki, har qanday
ratsional
funksiya ikkita
va ko‘phadlarning nisbati sifatida qaralishi mumkin
Aytaylik, suratdagi
ko‘phadning darajasi maxrajdagi ko‘phad
darajasi
dan katta yoki teng bo‘lsin. Agar ko‘phadni ga bo‘lsak,
bo‘linmada biror
ko‘phad, qoldiqda esa darajasi dan katta bo‘lmagan
ko‘phad hosil bo‘ladi. Demak, berilgan kasrni quyidagicha yozish mumkin
Biz
ko‘phadni integrallashni bilganimiz tufayli, ixtiyoriy ratsional kasrni
integrallash suratining darajasi maxraj darajasidan past bo‘lgan kasrni integrallashga
keltirilar ekan. SHuning uchun bundan keyin
ratsional kasr haqida gapirganimizda
har doim
deb faraz qilamiz. Bunday kasrlar to‘g‘ri kasr deb ataladi. Noto‘g‘ri
kasrning butun qismini ajratib olishga quyidagi misolni ko‘rishimiz mumkin
Avvalo to‘g‘ri kasrlarni integrallash jarayonida muhim bo‘lgan quyidagi eng
sodda kasr funksiyalar deb ataluvchi to‘rt turdagi funksiyalarni qaraylik
9
(13)
(14)
(15)
(16)
Bu erda a,b,c,A,B lar ixtiyoriy haqiqiy sonlar bo‘lib, m, n (m
2, n
2) natural sonlardir.
SHuningdek, (15) va (16) xildagi kasr funksiyalari maxrajidagi kvadrat uchhadda
deb faraz qilinadi.
YUqorida qaralayotgan (13) va (14) xildagi kasr funksiyalarni integrallash
bevosita jadval integraliga keltiriladi.
∫
∫
| |
∫
∫
∫
(15) va (16) xildagi kasr funksiyalarni integrallash uchun ularning maxrajidagi
kvadrat uchhaddan to‘la kvadrat ajratish usulini qo‘llaymiz.
∫
∫
∫
(
)
∫
(
)
|
|
∫
( (
) )
∫
∫
|
|
Oxirgi natijada yangi
o‘zgaruvchidan o‘zgaruvchisiga o‘tilsa, (15) xildagi
sodda kasr batamom integrallangan bo‘ladi.
∫
√
√
|
|
(16) xildagi sodda kasrni integrallash biroz murakkab hisoblashlarni talab etadi va
uni hisoblashda ham yuqoridagi tarzdagi amallar bajariladi.
∫
∫
(
)
∫
[(
)
]
∫
[(
)
]
|
|
∫
( (
) )
10
∫
∫
∫
(17)
(17) ifodadagi
∫
integralni
bilan belgilab olamiz va uni hisoblaymiz.
∫
∫
∫
∫
∫
|
|
*
∫
+
Oxirgi ifodani qayta guruhlab topsak
∫
(18)
(18) dagi
∫
integralda yana yuqoridagi usulni qo‘llasak,
natijada
∫
ga kelamiz. SHu yo‘sinda davom eta borib, oxirida
∫
ni hosil qilamiz. Bu esa jadval integralidir. SHunday qilib, barcha topilgan
natijalarni o‘rinlariga qo‘yib, oxiri
ning qiymatini hisoblaymiz va u qiymatni keltirib
(17) ga qo‘yamiz. U yerda
o‘zgaruvchidan o‘zgaruvchiga o‘tilsa, 4- xildagi eng
sodda kasr funksiya batamom integrallanadi.
(16) integraldagi n ni ketma- ket pasaytirish jarayonini rekurrent formula deb
yuritiladi.
Eng sodda ratsional funksiyalarni integrallashga doir misollar qaraylik.
9-Misol.
∫
integralni hisoblang.
►Bu integral (7.15) turdagi bo‘lib, uni hisoblash qulay bo‘lishi uchun to‘la
kvadrat ajratamiz
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
(√ )
√
√
. ◄
7.10-Misol.
∫
integralni hisoblang.
► ∫
∫
[
]
|
| ∫
∫
∫
.
Oxirgi
ifodaning birinchi integralini bevosita hisoblash mumkin, ikkinchisini
hisoblash uchun (18) formulani
da qo‘llaymiz.
11
∫
∫
∫
√
√
√
√
Dastlabki o‘zgaruvchi
ga qaytib oxirgi natijani hosil qilamiz
∫
√
√
◄
Do'stlaringiz bilan baham: |