1-maruza. Kirish. Moddiy nuqta kinematikasi

xosila va integrallning fizikaviy masalalarga tadbiqi. Absolyut qattiq jismning erkinlik darajasi

xosila tushunchasi sof matematikaviy nuqtai nazardan faqatgina uzluksiz funktsiyalar uchun, aniqrog’i, funktsiyalarning uzluksizlik soxasidagina mazmunga ega. Fizikada ixtiyoriy fizikaviy kattalik bir yoki bir nechta kattaliklarning funktsiyasi sifatida qaralishi mumkin. Masalan, jism bosib o’tgan yo’l vaqtning funktsiyasi, yaoni xarakatdagi jismning bosib o’tgan yo’li xarakatlanish vaqtiga bog’liq bo’ladi. Bu bog’lanish oshkor bo’lmagan ko’rinishda s = s(t) shaklda yoziladi. SHuningdek, xarakat tezligi va tezlanishi xam vaqtning funktsiyasi sifatida  = (t) va  = (t) ko’rinishida yozilishi mumkin. Baozi fizikaviy kattaliklarni, jumladan, tezlik va tezlanishni xam koordinatalarning funktsiyasi sifatida ifodalash mumkin. Bunday kattaliklarga eng oddiy misol-jism zichligidir. xaqiqatan xam, umumiy xolda jism zichligi xajmning turli bo’laklarida turlicha bo’lishi mumkin. Masalan, xavo molekulalarining zichligi oddiy sharoitda Yer sirtiga yaqin joylashgan qatlamlarda kattaroq bo’lib, balandlik ortgan sari kamaya boradi. Agar koordinatalar tizimining Yer sirtiga tik yo’nalgan o’qini Z orqali belgilasak, bu bog’lanish funktsional ko’rinishda  = (Z) kabi yoziladi. Jismlarning zichligi xajmga bog’liq bo’lgani uchun umumiy xolda  = (x,y,z) funktsiya yordamida aniqlanadi.
Endi zichlik tushunchasi vositasida fizikaviy masalalarda xosila tushunchasining ishlatilish mazmunini qarab chiqaylik. Taorifga asosan, jismning o’rtacha zichligi uning xajm birligiga to’g’ri keluvchi massasiga son jixatidan teng, yaoni _o’ = m/V
Agar bizni biror elementar xajmdagi zichlik qiziqtirsa

formuladan foydalanamiz; bunda m - elementar xajmi (V) dagi massa.
Matematikaviy nuqtai nazardan jismning biror bir “nuqta”dagi zichligi

formula bilan, yaoni jism massasidan xajm bo’yicha olingan xosila sifatida aniqlanishi lozim.
SHuni aloxida taokidlash lozimki, massadan xajm bo’yicha (fizikaviy mazmunda) xosila olishda xajmning cheksiz kichik orttirmasi o’rniga chekli kichik orttirmasidan foydalanish xisoblashda xatoliklarga olib kelmaydi, aksincha, V deb qaralganda kelib chiquvchi qator xatoliklarni bartaraf qilib, matematikaviy ifodaga fizikaviy mazmun beradi.
Maolumki, differentsial tushunchasi cheksiz kichik orttirma mazmuniga ega. Modomiki, fizikaviy kattaliklarning matematikaviy mazmundagi cheksiz kichik orttirmasi mavjud emas ekan, demak ularning matematikaviy mazmundagi differentsiali xaqida gapirish mumkin emas. Ammo fizikada fizikaviy nuqtai nazardan cheksiz kichik deb qarash mumkin bo’lgan orttirmalar uchun xam df va dy belgilashlardan foydalaniladi. Xuddi shunigdek, fizikaviy kattaliklarni ifodalovchi funktsiya va argumentlar orttirmalari nisbatining argument orttirmasi nolga intilgandagi limiti deyarli barcha xollarda mavjud bo’lmaganligidan fizikada xosila sifatida yetarli darajada kichik qilib olingan orttirmalar nisbatidan foydalaniladi va bu xosila

kabi belgilanadi. Bu o’rinda fizikaviy kattaliklar uchun

ekanligini yodda tutish lozim.
Matematika va fizika fanlarida ishlatiluvchi xosila tushunchalari mazmun jixatdan farq qilganlari kabi integral tushunchasi xam xar xolda turlicha mazmunga egadir. Matematikada integrallash amali

limitga o’tish sifatida taoriflanadi, yaoni

Ammo fizikada u kattalikni aniqlash (o’lchash) mumkin emas. Qolaversa, f(y) biror fizikaviy kattalikni ifodalaganda qaralayotgan limit ko’p xollarda mavjud bo’lmaydi.
Agar u_i yetarli darajada kichik, lekin argumentning shu qiymatlari bo’lgan darajada katta bo’lsa yig’indi muayyan fizikaviy mazmunga ega bo’ladi. SHunga ko’ra fizikada integral yig’indining limiti sifatida emas, balki yetarli darajada kichik bo’lgan juda ko’p qo’shiluvchilarning yig’indisi sifatida aniqlanadi, yaoni:

Xususan agar f(y) funktsiya tezlikning vaqtga bog’liqligini ifodalasa,f(y) = (t) bo’ladi; u xolda taorifga asosan t vaqt oralig’ida bosib o’tilgan yo’l
s_i = V_it
formula bilan aniqlanadi. Agar biror yetarli darajada katta vaqt oralig’ida bosib o’tilgan yo’lni xisoblamoqchi bo’lsak, tabiiy ravishda, elementar vaqtlar oraliqlarida bosib o’tilgan yo’llarning yig’indisini olishimiz kerak, yaoni (bu va bundan keyingi o’rinlarda yig’indi ko’rinishda berilgan bo’lsa, mazmunida tushunilsin).

Umumiy xolda tezlik vaqt davomida o’zgarib borganligidan, xisoblash to’g’ri bo’lishi uchun t vaqt oralig’ini shunday tanlashimiz kerakki, bu oraliqda tezlik deyarli o’zgarmay qolsin. Bu xolda

tenglik o’rinli bo’ladi. Demak,

Fizikada integrallash amalidan fizikaviy kattaliklarning o’rtacha qiymatlarini xisoblashda xam foydalaniladi. xaqiqatan xam maolumki, o’rtacha tezlik yuqorida ko’rsatilgandek

formula bilan xisoblanadi. Ammo s ning ifodas

ini integral yordamida yozsak, bu formula

ko’rinishiga o’tadi.
SHunday qilib, matematika amallarini fizik masalalarga rasman qo’llashda formulalarning shakli o’zgarmasa xam, ularning mazmuni maolum darajada o’zgaradi. Bunday o’zgarishlar fizikaviy masalani yechishni qulay ko’rinishga keltirish uchun sunoiy ravishda emas, balki fizika qonunlari va xodisalarning moxiyatidan kelib chiqib, tabiiy ravishda amalga oshirildi.
Moddiy nuqta (jism) larning xarakatini va istalgan paytda ularning fazodagi vaziyatini tavsiflashda erkinlik darajalari soni degan tushuncha kiritiladi. Moddiy nuqtaning fazodagi xolatini to’liq aniqlashga imkon beruvchi bir-biriga bog’liq bo’lmagan (mustaqil) kattaliklar soni uning erkinlik darajalari soni deyiladi.