1-laboratoriya ishi. Tasodifiy hodisalar va ularning ehtimolliklari (ehtimollikning klassik, geometrik va statistik ta’riflari). Murakkab hodisa ehtimolliklari

Mustaqil yechish uchun masalalar 
 
1. X
uzluksiz tasodifiy miqdorning












=
.
2
,
1
,
2
0
,
sin
,
0
,
0
)
(


x
agar
x
agar
x
x
agar
x
F
taqsimot funksiyasi berilgan. 
f(x)
zichlik funksiyani toping.
2. X
uzluksiz tasodifiy miqdorning 

---

zichlik funksiyasi berilgan. 
F (x)
taqsimot funksiyasini toping.
3. X
uzluksiz tasodifiy miqdorning













=
.
3
,
0
,
3
6
,
3
sin
3
,
6
,
0
)
(




x
agar
x
agar
x
x
agar
x
f
zichlik funksiyasi berilgan . 
F (x)
taqsimot funksiyani toping.
4-laboratoriya ishi. 
 
Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlar. 
 
Laboratoriya ishining maqsadi: 
Ko’p o’lchovli tasodifiy miqdorlarni o’rganish. 
Metodik ko’rsatmalar 
 
Bir o‘lchovli t.m.lardan tashqari, mumkin bo‘lgan qiymatlari 2 ta, 3 ta, ..., n ta son 
bilan aniqlanadigan miqdorlarni ham o‘rganish zarurati tug‘iladi. Bunday 
miqdorlar mos ravishda ikki o‘lchovli, uch o‘lchovli, … , 
n
o‘lchovli deb ataladi.
Faraz qilaylik, ( ,
)
P

A , 
ehtimollik fazosida aniqlangan 
1
2
,
,...,
n
X X
X
t.m.lar berilgan bo‘lsin.
1
2
(
,
,...,
)
n
X
X X
X
=
vektorga tasodifiy vektor yoki 
n
-o‘lchovli t.m. deyiladi. 
Ko‘p o‘lchovli t.m. har bir elementar hodisa 

ga n ta 
1
2
,
,...,
n
X X
X
t.m.larning 
qabul qiladigan qiymatlarini mos qo‘yadi.
1
2
,
,...,
1
2
1
1
2
2
( ,
,...,
)
{
,
,...,
}
n
X X
X
n
n
n
F
x x
x
P X
x X
x
X
x
=



n
o‘lchovli funksiya 
1
2
(
,
,...,
)
n
X
X X
X
=
tasodifiy vektorning taqsimot funksiyasi yoki 
1
2
,
,...,
n
X X
X
t.m.larning birgalikdagi taqsimot funksiyasi deyiladi. 
 
0,
0
( )
cos ,
0
2
0,
2
агар x
f x
x агар
x
агар x







=
 






---

Qulaylik uchun 
1
2
,
,...,
1
2
( ,
,...,
)
n
X X
X
n
F
x x
x
taqsimot funksiyani 
1
2
,
,...,
n
X X
X
indekslarini tushirib qoldirib, 
1
2
( ,
,...,
)
n
F x x
x
ko‘rinishida yozamiz.
1
2
( ,
,...,
)
n
F x x
x
funksiya 
1
2
(
,
,...,
)
n
X
X X
X
=
tasodifiy vektorning taqsimot 
funksiyasi bo‘lsin. Ko‘p o‘lchovli 
1
2
( ,
,...,
)
n
F x x
x
taqsimot funksiyaning asosiy 
xossalarini keltiramiz: 
1. 
1
2
: 0
( ,
,...,
) 1
i
n
x
F x x
x



, ya’ni taqsimot funksiya chegaralangan. 
2. 
1
2
( ,
,...,
)
n
F x x
x
funksiya har qaysi argumenti bo‘yicha kamayuvchi emas 
va chapdan uzluksiz. 
3. Agar biror 
i
x
→ +
bo‘lsa, u holda 
1
1
1
1
2
1
1
1
,...,
,
,...,
1
1
1
lim
( ,
,...,
)
( ,...,
, ,
,...,
)
( ,...,
,
,...,
)
i
i
i
n
n
i
i
n
x
X
X
X
X
i
i
n
F x x
x
F x
x
x
x
F
x
x
x
x
−
+
−
+
→+
−
+
=

=
=
4. Agar biror 
i
x
→ −
bo‘lsa, u holda 
1
2
lim
( ,
,...,
)
0
i
n
x
F x x
x
→−
=
. 
3-xossa 
yordamida 
keltirib 
chiqarilgan 
(3.1.1) 
taqsimot 
funksiyaga 
marginal(xususiy) taqsimot funksiya deyiladi. 
1
2
(
,
,...,
)
n
X
X X
X
=
tasodifiy 
vektorning 
barcha 
marginal 
taqsimot 
funksiyalari 
soni 
1
2
1
...
n
n
n
n
k
C
C
C
−
=
+
+ +
=
0
0
2
2
n
m
n
n
n
n
n
n
C
C
C
=
−
−
=
−

ga tengdir.
Masalan, 
1
2
(
,
)
X
X X
=
(
n
=2) ikki o‘lchovlik tasodifiy vektorning marginal 
taqsimot funksiyalari soni 
2
2
2
2
k
=
− =
ta bo‘lib, ular quyidagilardir: 
1
1
1
1
1
( ,
)
( )
(
);
F x
F x
P X
x
+ =
=

2
2
2
2
2
(
,
)
(
)
(
)
F
x
F x
P X
x
+
=
=

.
Soddalik uchun 
n
=2 bo‘lgan holda, ya’ni (
X
,
Y
) ikki o‘lchovlik tasodifiy 
vector bo‘lgan holni ko‘rish bilan cheklanamiz.
 
3.2 Ikki o‘lchovli diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimot qonuni 
 
(
X
,
Y
) ikki o‘lchovli t.m. taqsimot qonunini
{
,
};
1, ,
1,
ij
i
j
p
P X
x Y
y
i
n j
m
=
=
=
=
=
 
formula yordamida yoki quyidagi jadval ko‘rinishida berish mumkin: 
Y 
X 
1
y
2
y
… 
m
y
1
x
11
p
12
p
… 
1
m
p
2
x
21
p
22
p
… 
2
m
p
… 
… 
… 
… 
… 

---

bu 
erda 
barcha 
ij
p
ehtimolliklar 
yig‘indisi 
birga 
teng, 
chunki 
{
,
}
1, ,
1,
i
j
X
x Y
y
i
n j
m
=
=
=
=
birgalikda bo‘lmagan hodisalar to‘la gruppani 
tashkil etadi 
1
1
1
n
m
ij
i
j
p
=
=
=

formula ikki o‘lchovli diskret t.m.ning taqsimot qonuni, 
jadval esa birgalikdagi taqsimot jadvali deyiladi.
(
X
,
Y
) ikki o‘lchovli diskret t.m.ning birgalikdagi taqsimot qonuni berilgan 
bo‘lsa, har bir komponentaning alohida (marginal) taqsimot qonunlarini topish 
mumkin. Har bir 
1,
i
n
=
uchun 
1
2
{
,
},{
,
},...,{
,
}
i
i
i
m
X
x Y
y
X
x Y
y
X
x Y
y
=
=
=
=
=
=
hodisalar birgalikda bo‘lmagani sababli: 
1
2
{
}
...
i
x
i
i
i
im
p
P X
x
p
p
p
=
=
=
+
+ +
. 
Demak, 
1
{
}
,
i
m
x
i
ij
j
p
P X
x
p
=
=
=
=

1,
i
n
=
, 
1
{
}
j
n
y
j
ij
i
p
P Y
y
p
=
=
=
=

1,
j
m
=
. 
 
1-misol. 
Ichida 2 ta oq, 1 ta qora, 1 ta ko‘k shar bo‘lgan idishdan tavakkaliga 
ikkita shar olinadi. Olingan sharlar ichida qora sharlar soni 
X
t.m. va ko‘k rangdagi 
sharlar soni 
Y
t.m. bo‘lsin. (
X
,
Y
) ikki o‘lchovli t.m.ning birgalikdagi taqsimot 
qonunini tuzing. 
X
va 
Y
t.m.larning alohida taqsimot qonunlarini toping. 
X
t.m. qabul qilishi mumkin qiymatlari: 0 va 1: 
Y
t.m.ning qiymatlari ham 0 
va 1. Mos ehtimolliklarni hisoblaymiz: 
2
2
11
2
4
1
{
0,
0}
6
C
p
P X
Y
C
=
=
=
=
=
(yoki 
2 1
1
4 3
6
 =
); 
1
2
12
2
4
2
{
0,
1}
6
C
p
P X
Y
C
=
=
= =
=
; 
21
2
{
1,
0}
6
p
P X
Y
=
=
=
=
; 
22
1
{
1,
1}
6
p
P X
Y
=
=
= =
. 
(
X
,
Y
) vaktorning taqsimot jadvali quyidagicha ko‘rinishga ega:
Bu 
erdan 
1
2
1
{
0}
6
6
2
P X
=
= + =
, 
2
1
1
{
1}
6
6
2
P X
= = + =
; 
1
2
1
{
0}
6
6
2
P Y
=
= + =
, 
2
1
1
{
1}
6
6
2
P Y
= = + =
kelib chiqadi. 
X
va 
Y
t.m.larning alohida taqsimot qonunlari quyidagi ko‘rinishga 
ega bo‘ladi: 
n
x
1
n
p
21
p
… 
nm
p
Y 
X 
0 
1 
0 
1
6
2
6
1 
2
6
1
6

---

: 0, 1
1
1
:
,
2
2
X
p




va 
: 0, 1
1
1
:
,
2
2
Y
p




. 
Ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi va uning xossalari 
 
Ikki o‘lchovli t.m. taqsimot funksiyasini 
F
(
x
,
y
) orqali belgilaymiz.
 
Ikki o‘lchovli (X,Y) t.m.ning taqsimot funksiyasi,x
va 
y
sonlarning har bir 
jufti uchun {
}
X
x

va {
}
Y
y

hodisalarning birgalikdagi ehtimolligini 
aniqlaydigan 
F
(
x
,
y
) funksiyasidir: ya’ni
(
)
( . )
(
, ) (
, )
( , )
{
,
}
X Y
x
y
D
F x y
P X
x Y
y
P
 −
 −
=
=


=
.
tenglikning geometrik tasviri rasmda keltirilgan.
(
X
,
Y
) ikki o‘lchovlik diskret t.m. taqsimot funksiyasi quyidagi yig‘indi orqali 
aniqlanadi: 
( , )
ij
i
j
F x y
p
x x y y
=  


.
Ikki o‘lchovlik t.m. taqsimot funksiyasining xossalari: 
1. ( , )
F x y
taqsimot funksiya chegaralangan: 
0
( , ) 1
F x y


. 
2. ( , )
F x y
funksiya har qaysi argumenti bo‘yicha kamayuvchi emas:
agar 
2
1
x
x

bo‘lsa, 
2
1
( , )
( , )
F x y
F x y

, 
agar 
2
1
y
y

bo‘lsa, 
2
1
( ,
)
( ,
)
F x y
F x y

. 

---

3. 
( , )
F x y
funksiyaning biror argumenti 
−
bo‘lsa(limit ma’nosida), u 
holda ( , )
F x y
funksiya nolga teng, 
( ,
)
(
, )
(
,
)
0
F x
F
y
F
− =
−
=
− − =
. 
4. Agar ( , )
F x y
funksiyaning bitta argumenti 
+
bo‘lsa(limit ma’nosida), u 
holda
1
( )
( )
( ,
)
X
x
F
x
F x
F
=
+ =
; 
2
( )
( )
(
, )
Y
y
F y
F
y
F
=
+
=
.
4
o
. Agar ikkala argumenti 
+
bo‘lsa(limit ma’nosida), u holda 
(
)
1
,
F
=
+ +
. 
5. 
( , )
F x y
funksiya har qaysi argumenti bo‘yicha chapdan uzluksiz, ya’ni 
0
0
0
lim
( , )
( , )
x
x
F x y
F x y
→ −
=
, 
0
0
0
lim
( , )
( ,
)
y
y
F x y
F x y
→ −
=
.
 
X
va 
Y
tasodifiy miqdorlarning korrelyatsiya momenti (yoki kovariasiyasi) deb, 
quyidagi songa aytiladi: 
( )
(
)
( )
(
)


Y
M
Y
X
M
X
M
K
xy
−
−
=
. 
X
va 
Y
tasodifiy miqdorlar diskret bo‘lsa, u holda bu formula quyidagi 
ko‘rinishini oladi: 
( )
(
)
( )
(
)
xy
i
i
ij
i j
K
x
M X
y
M Y
p

=
−
−

, 
bunda 
(
)
;
ij
i
j
p
P X
x Y
y
=
=
=
. 
Korrelyatsiya 
momentiifodasini 
matematik 
kutilmaxossalariasosidaquyidagichaalmashtirilishmumkin; 
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
( ) ( )


=
+
−
−
=
−
−
Y
M
X
M
X
YM
Y
XM
XY
M
Y
M
Y
X
M
X
M
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
M XY
M X M Y
M Y M X
M X M Y
M XY
M X M Y
=
−
−
+
=
−
. 
3-teorema.
Agar tasodifiymiqdorlar o‘zaro bog‘liq bo‘lmasa, u holda 
korrelyatsiya momentinolgateng bo‘ladi. 
6-ta’rif.
X
va
Y
tasodifiy miqdorlarning korrelyatsiya koeffitsienti deb 
y
x
xy
xy
K
r


=
(6) 
tenglik bilan aniqlanadigan kattalikka aytiladi. 
Korrelyatsiya momenti uchun quyidagi 
xy
x
y
K
D D

tengsizlik o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatish mumkin, chunki 
1
xy
r

. 
Agar 
X
va 
Y
tasodifiy miqdorlar bog‘liqmas bo‘lsa, u holda ularning 
korrelyatsiya koeffitsienti nolga tengligini ko‘rsatish qiyin emas. 
Quyidagi teorema tasodifiy miqdorlar orasida bog‘lanishni tavsiflashda 
korrelyatsiya koeffitsientining ahamiyatini yana ham batafsil oydinlashtirib beradi. 

---

4-teorema.
Agar 
Y
tasodifiy miqdor 
X
tasodifiy miqdorning chiziqli 
funksiyasi, ya’ni 
b
aX
Y
+
=
bo‘lsin, u holda agar 
0
a

bo‘lsa, 
1
=
xy
r
, agar 
0
a

bo‘lsa,
1
−
=
xy
r
bo‘ladi. 
Isbot
. 
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
xy
K
M
X
M X
Y
M Y
M
X
M X
aX
b
M Y




=
−
−
=
−
+ −
=




( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
2
2
x
M
X
M X
aX
b
aM X
b
aM
X
M X
aD X
a





=
−
+ −
−
=
−
=
=




, 
( )
( )
2
2
2
2
,
y
x
y
x
D Y
a D X
a
a




=
=
=
=
, 
2
2
1,
0,
1,
0.
xy
x
xy
x
y
x
K
a
a
r
a
a

 



=
=
= 
−


 
2. 
Birxilturdagimahsulotishlabchiqaruvchi 
5 
tasanoatkorxonalaribo‘yichaquyidagimahsulotlarolingan.
Mehnatni elektr energiya bilan 
ta’minlanganligi- 
X 
(kvt/soat) 
7,1 
8,3 
8,5 
9 
10,5 
Mehnat unumdorligi – 
Y
(dona) 
14 
16 
14 
15 
17 
Bu ma’lumotlardan foydalanib tanlanma korrelyatsiya koeffitsientini toping.
Yechish
. 
,
(*)
i
i
T
x
y
x y
nx y
r
n
 
−

=

formuladagi zarur hisoblashlarni bajaramiz: 
68;
,
8
5
5
,
10
9
5
,
8
3
,
8
1
,
7
=
+
+
+
+
=
x
2;
,
15
5
76
5
17
15
14
16
14
=
=
+
+
+
+
=
y
1;
,
1
68
,
8
5
5
,
10
9
5
,
8
3
,
8
1
,
7
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2

−
+
+
+
+
=
−
=

x
n
x
i
x


---

Aniqlangan qiymatlarni (*) formulaga qo‘ysak, 
bo‘ladi.
 
 
Mustaqilechishuchunmasalalar. 
 
1
. 
Berilgan jadvaldan foydalanib, tanlanma shartli o‘rtacha-
y
x
ni toping. 
X
 
Y
4 
4,5 
5 
5,5 
6 
8 
5 
3 
- 
- 
- 
10 
2 
4 
5 
4 
3 
13 
- 
1 
1 
2 
2 
2. Berilgan jadvaldan foydalanib, tanlanma shartli o‘rtacha-
x
y
ni toping. 
X
 
Y
3 
3,5 
4 
4,5 
5 
7 
5 
3 
- 
- 
- 
9 
2 
3 
5 
3 
1 
13 
- 
1 
1 
2 
2 
16;
,
1
2
,
15
5
17
15
14
16
14
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2

−
+
+
+
+
=
−
=

y
n
y
i
y


=

+

+

+

+

=
7. 
,
664
17
5
,
10
15
9
14
5
,
8
16
3
,
8
14
1
,
7
i
i
y
x
79 
,
0
38
,
6
02
,
5
6
,
1
1
,
1
5
2
,
15
68
,
8
5
7
,
664

=




−
=
T
r