1. Ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchak va ularning parallellik

3-misol. nuqta orqali o’tuvchi fokuslari orasidagi masofa 6 ga teng bo’lgan ellipsning kanonik tenglamasini yozing.
Yechish. Ellipsning kanonik tenglamasi

ni qaraymiz. nuqta ellipsga tegishli bo’lgani uchun , bundan . Endi ni topish qoldi; ma’lumki, , bunda fokuslar orasidagi masofaning yarimi . Demak, izlangan tenglama

bo’ladi.
4). Giperbola. Ixtiyoriy nuqtasidan fokuslar deb ataluvchi berilgan ikki va nuqtagacha bo’lgan masofalar ayirmasining absolyut qiymati uzgarmas miqdor ga teng bo’lgan tekislikdagi barcha nuqtalar to’plami giperbola deyiladi (o’zgarmas miqdor fokuslar orasidagi masofadan ( dan) kichik deb olinadi).
Giperbola tenglamasini keltirib chiqarish uchun ellipsdagidek ish ko’ramiz.
Bu yerda ham abssissa o’qini fokuslardan o’tkazamiz, koordinata boshini esa fokuslarning o’rtasidan olamiz. U holda va fokuslar bo’ladi.
Ta’rifga ko’ra

yoki
.
Buni soddalashtirib,
(6)
tenglamaga kelamiz, bu yerda , chunki Shuning uchun deb olamiz. U holda (6) tenglama
(7)
ko’rinishga keladi. Bu tenglama giperbolaning kanonik tenglamasi deyiladi.
Endi (7) tenlamaga ko’ra giperbolaning shaklini aniqlaymiz. (7) tenglama
va o’zgaruvchilarning juft darajalarini saqlagani uchun giperbola ikkita simmetriya o’qiga ega bo’lib, ular koordinata o’qlaridan iborat. Giperbolaning simmetriya o’qlari uning o’qlari deb ataladi, ularning kesishish nuqtasi esa giperbolaning markazi deb ataladi. Giperbolaning fokuslari joylashgan o’q uning fokal o’qi deyiladi.
Giperbola o’qni va nuqtalarda kesib o’tadi, lekin o’q bilan kesishmaydi, chunki bo’lganda bo’lib qoladi va bu o’rinli emas. va nuqtalar giperbolaning uchlari, ular orasidagi uzunligi 2a ga teng bo’lgan kesma esa uning haqiqiy oqi deyiladi.
o’qida va nuqtalarni belgilasak, dan
gacha bo’lgan uzunlikdagi kesma giperbolaning mavxum o’qi deyiladi. (7) tenglamani y ga nisbatan yechami
(8)
bo’ladi. Avvalo giperbolaning shakli I chorakda tasvirlanadi. Bu holda (8) da + ishora olinadi.
B u yerda bo’lib qoladi. (8) da da y miqdori 0 dan gacha o’sadi.
y

B₁

F₂ A₂ A₁ F₁
0 x
B₂
Giperbola koordinata o’qlariga simmetrik bo’lgani uchun uning grafigi chizmadagidek bo’ladi.
Giperbola tenglamalar bilan aniqlanuvchi ikkita assimptotaga ega.
Ta’rif. Giperbola fokuslari orasidagi masofaning haqiqiy o’qning uzunligiga nisbati giperbolaning ekssentrisiteti deyiladi va harfi bilan belgilanadi: