1. Двойной интеграл. Определение двойного интеграла

Теорема о переходе от двойного интеграла к повторному. Пусть D - простая в направлении оси Oy область. Тогда двойной интеграл от непрерывной функции по области D равен повторному интегралу от той же функции по области D: .

Док-во. Разобьём область D с помощью прямых, параллельных координатным осям, на подобласти D₁, D₂, …, D_n. По доказанному выше, . К каждому из интегралов J(D_i) применим теорему о среднем: в любой области D_i найдётся точка P_i такая, что J(D_i)= f(P_i) s(D_i). Следовательно, . В последнем равенстве справа стоит интегральная сумма для двойного интеграла . Будем мельчить разбиение области так, чтобы . Вследствие непрерывности функции f(x, y) по теореме существования интегральная сумма при этом стремится к двойному интегралу , т.е. в пределе получим , что и требовалось доказать.
Если область D правильная в направлении оси Oх, то аналогично доказывается формула . Если D правильна в направлении обеих осей, то для вычисления двойного интеграла можно применять любую из эти формул: .
Если область не является правильной, её разбивают на правильные подобласти.
16.1.5. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах.
16.1.5.1.Теорема о замене переменных в двойном интеграле. Пусть на плоскости Ouv задана область G, и пусть отображение F(M) = M* преобразует эту область в область D на плоскости Oxy. Будем считать, что отображение F задаётся функциями . Пусть: 1). F взаимно однозначно отображает G на D; 2). функции x(u,v), y(u,v) непрерывно дифференцируемы на G (имеют непрерывные частные производные); 3). якобиан не обращается в нуль на G. Докажем, что в этих предположениях .
Док-во. 1. Рассмотрим, как связаны между собой площадь параллелограмма АВСЕ со сторонами в области G и площадь его образа при преобразовании F - криволинейного параллелограмма A₁B₁C₁E₁ в области D. С точностью до бесконечно малых высших порядков по сравнению с , площадь криволинейного параллелограмма A₁B₁C₁E₁ равна площади обычного параллелограмма, построенного на векторах и . Пусть точка А имеет координаты (u,v), тогда точка А₁ будет иметь координаты (x(u,v),y(u,v)), т.е. . Для других точек: (по формуле приращения дифференцируемой функции). Аналогично
, где при . Пренебрежём членами порядка малости выше первого по сравнению с . Тогда .
Пусть теперь i,j,k - базисные орты пространства, в котором лежит плоскость Oxy. Как известно, площадь параллелограмма, построенного на векторах и , равна модулю векторного произведения этих векторов (проекции на орт k равны нулю):
.
Мы доказали замечательную вещь. Если вокруг точки взять маленькую область, то после преобразования F площадь этой области меняется в | J(M) | раз.
2. Перейдём к доказательству основной формулы. Разобьём G прямыми, параллельными осям координат, на области G₁, G₂, …, G_n. Образы этих линий дадут разбиение D на области D₁, D₂, …, D_n. Для этого разбиения составим интегральную cумму . Устремим ; тогда и . И слева, и справа интегральные суммы записаны для непрерывных функций, следовательно,и слева, и справа существуют пределы - двойные интегралы, и они равны: , что и требовалось доказать.