1. Двойной интеграл. Определение двойного интеграла

Oxz: Область D - треугольник, ограниченный прямыми x = 0, z = 0, 2x + z = 4, поэтому
.

2. 
   Найти объём области, ограниченной поверхностями x² + y² + z ² = R ²,
   

(x² + y²) ³ = R ²(x² + y²).
Решение. Первая поверхность - сфера, вторая - цилиндрическая - с образующими, параллельными оси Oz (в уравнении нет z в явной форме). Построить в плоскости Oxy кривую шестого порядка, заданную уравнением (x² + y²) ³ = R ²(x² + y²), в декартовой системе координат невозможно, можно только сказать, что она симметрична относительно осей (чётные степени) и точка О(0,0) принадлежит этой кривой. Пробуем перейти к полярным координатам.
Эту кривую построить уже можно. максимально, когда , минимально, когда

, и гладко меняется между этими пределами (точка О(0,0) не принадлежит этой кривой, где мы её потеряли?).
Пользуясь симметрией, получаем


и т.д.

16.1.7.3. Вычисление площади поверхности. Пусть в пространстве задана кусочно-гладкая поверхность , однозначно проектирующаяся в область D на плоскости Оху. Пусть эта поверхность задаётся уравнением . Тогда площадь этой поверхности выражается формулой
.
М
ы докажем эту формулу позже, когда будем изучать поверхностные интегралы. Сейчас рассмотрим пример: найти площадь лепестков, вырезаемых цилиндром