1. Двойной интеграл. Определение двойного интеграла

x² + y² = 2ax и сферой радиуса 2a сверху; в то время как получили половину объём верхнего полушара (рисунок справа). С такой ситуацией мы уже встречались, когда рассматривали приложения определённого интеграла. Ошибка делается, когда выражение заменяется на , а не на . Дальше необходимо отдельно рассматривать интервалы и . Избежать это можно, если воспользоваться симметрией и области, и подынтегральной функции относительно оси Ох, т.е. вычислять удвоенный интеграл по половине круга :

16.1.7. Приложения двойного интеграла.

16.1.7.1. Вычисление площадей плоских областей. В соответствии с свойством 16.1.3.3. Интеграл от единичной функции . Пример: найти площадь области , лежащей внутри кривых .
Решение. Построить эти кривые можно только в полярных координатах; первое уравнение приводится к виду , это - лемниската Бернулли; второе - к виду , это - кардиоида. Решая уравнение , находим, что точка их пересечения лежит на луче . D состоит из двух лунок одинаковой площади; вычислим площадь верхней. При эта лунка ограничена кардиоидой; при - лемнискатой, поэтому



16.1.7.2. Вычисление объёмов. Объём тела, ограниченного сверху и снизу поверхностями z = f₁(x,y), z = f₂(x,y), , с боков - цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz, равен ; эта формула очевидно следует из геометрического смысла двойного интеграла. Основной вопрос, который надо решить - на какую координатную плоскость проектировать тело, чтобы выкладки были наиболее простыми.
Примеры. 1. Найти объём тела
Решение. Тело изображено на рисунке слева. Перебором возможностей убеждаемся, что проще всего описать это тело, если отправляться от его проекции на ось